Question

6．已知拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx經過點A（4，0）．設點C（1，-4），欲在拋物線的對稱軸上確定一點D，使得|AD-CD|的值最大，則D點的坐標是（2，-8）．

Answer 1

分析 首先利用待定系數法求得拋物線的解析式，然后可求得拋物線的對稱軸方程x=2，又由作點C關于x=2的對稱點C′，直線AC′與x=3的交點即為D，求得直線AC′的解析式，即可求得答案．

解答 解：∵解：∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx經過點A（4，0），
∴$\frac{1}{2}$×4²+4b=0，
∴b=-2，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-2x=$\frac{1}{2}$（x-2）²-2，
∴拋物線的對稱軸為：直線x=2，
∵點C（1，-4），
∴作點C關于x=2的對稱點C′（3，-4），
直線AC′與x=2的交點即為D，
因為任意取一點D（AC與對稱軸的交點除外）都可以構成一個△ADC．而在三角形中，兩邊之差小于第三邊，即|AD-CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延長線上的點的時候取到|AD-C′D|=AC′最大，
設直線AC′的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-16}\end{array}\right.$，
∴直線AC′的解析式為y=4x-16，
當x=2時，y=-8，
∴D點的坐標為（2，-8）．
故答案為：（2，-8）．

點評 此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數的對稱軸，以及距離差最小問題．此題綜合性很強，解題的關鍵是數形結合思想的應用．