Question

14．例：解方程x⁴-7x²+12=0
解：設x²=y，則x⁴=y²，∴原方程可化為：y²-7y+12=0，解得y₁=3，y₂=4，
當y=3時，x²=3，x=±$\sqrt{3}$，當y=4時，x²=4，x=±2．
∴原方程有四個根是：x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$，x₃=2，x₄=-2．
以上方法叫換元法，達到了降次的目的，體現了數學的轉化思想，運用上述方法解答下列問題．
（1）解方程：（x²+x-2）（x²+x-3）=2；
（2）已知a、b、c是Rt△ABC的三邊（c為斜邊），S_△ABC=6，且a、b滿足（a²+b²）²-21（a²+b²）-100=0，試求Rt△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）設x²+x-3=y，則x²+x-2=y+1，由此可得出y²+y-2=0，解之即可得出y的值，再將y值代入x²+x-3=y中求出x值即可；
（2）設a²+b²=x，則x²-21x-100=0，解之可求出x的值，再根據a、b、c是Rt△ABC的三邊（c為斜邊），結合勾股定理以及S_△ABC=6，即可得出a+b與c的值，將其相加即可得出結論．

解答 解：（1）設x²+x-3=y，則x²+x-2=y+1，
∴原方程可化為：（y+1）•y=2，即y²+y-2=0，
解得y₁=-2，y₂=1．
當y=-2時，x²+x-3=-2，即x²+x-1=0，
解得：x₁=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
當y=1時，x²+x-3=1，即x²+x-4=0，
解得：x₃=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，x₄=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．
∴原方程有四個根是：x₁=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，x₃=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，x₄=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$．
（2）設a²+b²=x，
∴原方程可化為：x²-21x-100=0，解得：x₁=25，x₂=-4．
∵a、b、c是Rt△ABC的三邊（c為斜邊），S_△ABC=6，
∴a、b、c均為正數，
∴c²=a²+b²=25，ab=12，
∴a+b=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}$=7，c=5，
∴Rt△ABC的周長為a+b+c=7+5=12．

點評 本題換元法解一元二次方程以及勾股定理，熟練掌握換元法解一元二次方程的方法及步驟是解題的關鍵．