Question

9．已知，在面積為7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P為邊AD上不與A、D重合的一動(dòng)點(diǎn)，Q是邊BC上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AQ、DQ，過(guò)P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．則△PEF面積的最大值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)PD=x，S_△PEF=y．根據(jù)平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及相似三角形的判定，證明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面積比是相似比的平方，再由三角形AQD與梯形ABCD的面積公式求得梯形的高，代入S_△PEF=（S_△AQD-S_△DPF-S_△APE）÷2，得出關(guān)于x的二次函數(shù)方程，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得則△PEF面積最大值．

解答 解：設(shè)PD=x，S_△PEF=y，S_△AQD=z，梯形ABCD的高為h，
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面積為7，
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=\frac{1}{2}×3×h}\\{7=\frac{1}{2}×（3+4）h}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{h=2}\\{z=3}\end{array}\right.$，
∵PE∥DQ，
∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD=∠EQF，
∴∠EPF=∠EQF，
∵EF=FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴$\frac{{S}_{△AEP}}{{S}_{△AQD}}$=（$\frac{3-x}{3}$）²，$\frac{{{S}_{△}}_{DPF}}{{S}_{△DAQ}}$=（$\frac{x}{3}$）²，
∵S_△AQD=3，
∴S_△DPF=$\frac{1}{3}$x²，S_△APE=$\frac{1}{3}$（3-x）²，
∴S_△PEF=（S_△AQD-S_△DPF-S_△APE）÷2，
∴y=[3-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$（3-x）²]×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{3}$x²+x，
∵y_最大值=$\frac{0-{1}^{2}}{4×（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，即y_最大值=$\frac{3}{4}$．
∴△PEF面積最大值是$\frac{3}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)的最值、三角形的面積、梯形的面積以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及用含x的代數(shù)式表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵．