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9.已知,在面積為7的梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=4,P為邊AD上不與A、D重合的一動(dòng)點(diǎn),Q是邊BC上的任意一點(diǎn),連結(jié)AQ、DQ,過(guò)P作PE∥DQ交AQ于E,作PF∥AQ交DQ于F.則△PEF面積的最大值是(  )
A.$\frac{3}{2}$B.$\frac{3}{8}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{3}{4}$

分析 設(shè)PD=x,S△PEF=y.根據(jù)平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及相似三角形的判定,證明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ,相似三角形的面積比是相似比的平方,再由三角形AQD與梯形ABCD的面積公式求得梯形的高,代入S△PEF=(S△AQD-S△DPF-S△APE)÷2,得出關(guān)于x的二次函數(shù)方程,根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,求得則△PEF面積最大值.

解答 解:設(shè)PD=x,S△PEF=y,S△AQD=z,梯形ABCD的高為h,
∵AD=3,BC=4,梯形ABCD面積為7,
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=\frac{1}{2}×3×h}\\{7=\frac{1}{2}×(3+4)h}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{h=2}\\{z=3}\end{array}\right.$,
∵PE∥DQ,
∴∠PEF=∠QFE,∠EPF=∠PFD,
又∵PF∥AQ,
∴∠PFD=∠EQF,
∴∠EPF=∠EQF,
∵EF=FE,
∴△PEF≌△QFE(AAS),
∵PE∥DQ,
∴△AEP∽△AQD,
同理,△DPF∽△DAQ,
∴$\frac{{S}_{△AEP}}{{S}_{△AQD}}$=($\frac{3-x}{3}$)2,$\frac{{{S}_{△}}_{DPF}}{{S}_{△DAQ}}$=($\frac{x}{3}$)2
∵S△AQD=3,
∴S△DPF=$\frac{1}{3}$x2,S△APE=$\frac{1}{3}$(3-x)2
∴S△PEF=(S△AQD-S△DPF-S△APE)÷2,
∴y=[3-$\frac{1}{3}$x2-$\frac{1}{3}$(3-x)2]×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{3}$x2+x,
∵y最大值=$\frac{0-{1}^{2}}{4×(-\frac{1}{3})}$=$\frac{3}{4}$,即y最大值=$\frac{3}{4}$.
∴△PEF面積最大值是$\frac{3}{4}$,
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)的最值、三角形的面積、梯形的面積以及相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及用含x的代數(shù)式表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵.

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A.$\frac{1}{3}$∠AOB=∠DOEB.∠AOB=2∠DOEC.互補(bǔ)D.互余

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等級(jí)非常了解比較了解基本了解不太了解從未聽說(shuō)
頻數(shù)4060483616
頻率0.2m0.240.180.08
(1)表中m的值為0.3;
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算等級(jí)為“非常了解”的頻數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
(3)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果,請(qǐng)你對(duì)政府相關(guān)部門提出一句話建議.

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9.解下列方程:
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4.某人將其甲、乙兩種股票賣出,其甲種股票賣價(jià)1200元,盈利20%,其乙種股票賣價(jià)也是1200元,但虧損10%.該人此次交易結(jié)果是盈利$\frac{200}{3}$元.

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滿足∠1+∠2=180°,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行,就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論;
同學(xué)乙:度量∠3的度數(shù),若滿足∠3=∠1=90°,根據(jù)同位角相等,兩直線平行,就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論;
同學(xué)丙:度量∠5的度數(shù),若滿足∠5=∠1=90°,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,就可以驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論;
同學(xué)丁:度量∠4的度數(shù),若∠4=90°,也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論.請(qǐng)你說(shuō)明同學(xué)丁的理由.

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