Question

19．如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以O(shè)A的半徑的⊙O與AD、AC分別交于點E、F，且∠ACB=∠DCE．若tan∠ACB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，BC=2，則⊙O的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

Answer 1

分析 連接EF，易證得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得DE的長，由勾股定理，求得AC的長，繼而求得答案．

解答 解：連接EF，
∵∠ACB=∠DCE，∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{BC}{CD}$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=2，
∴AB=CD=$\sqrt{2}$，
∴DE=1，
∴AE=DE，
∵AF為直徑，
∴EF⊥AD，
∴EF∥CD，
∴AF=CF，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，
∴AC=$\sqrt{6}$，
∴⊙O的半徑OA=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 此題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．