Question

9．拋物線y=ax²+bx+c的頂點為D（-1，2），與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b²-4ac＜0；②a+b+c＜0；③c-a=2；④方程ax²+bx+c-2=0有兩個相等的實數根，其中正確結論的個數為3個．

Answer 1

分析 由拋物線與x軸有兩個交點得到b²-4ac＞0；有拋物線頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，則根據拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，所以當x=1時，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點為D（-1，2）得a-b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1得b=2a，所以c-a=2；根據二次函數的最大值問題，當x=-1時，二次函數有最大值為2，即只有x=-1時，ax²+bx+c=2，所以說方程ax²+bx+c-2=0有兩個相等的實數根．

解答 解：∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴b²-4ac＞0，所以①錯誤；

∵頂點為D（-1，2），
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1，
∵拋物線與x軸的一個交點A在點（-3，0）和（-2，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，
∴當x=1時，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以②正確；

∵拋物線的頂點為D（-1，2），
∴a-b+c=2，
∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正確；

∵當x=-1時，二次函數有最大值為2，
即只有x=-1時，ax²+bx+c=2，
∴方程ax²+bx+c-2=0有兩個相等的實數根，所以④正確．
綜上所述，共有3個正確結論，
故答案為：3．

點評 本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，關鍵是掌握以下性質：二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）；當b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點