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9.拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D(-1,2),與x軸的一個交點A在點(-3,0)和(-2,0)之間,其部分圖象如圖,則以下結論:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數根,其中正確結論的個數為3個.

分析 由拋物線與x軸有兩個交點得到b2-4ac>0;有拋物線頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=-1,則根據拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點(0,0)和(1,0)之間,所以當x=1時,y<0,則a+b+c<0;由拋物線的頂點為D(-1,2)得a-b+c=2,由拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1得b=2a,所以c-a=2;根據二次函數的最大值問題,當x=-1時,二次函數有最大值為2,即只有x=-1時,ax2+bx+c=2,所以說方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數根.

解答 解:∵拋物線與x軸有兩個交點,
∴b2-4ac>0,所以①錯誤;

∵頂點為D(-1,2),
∴拋物線的對稱軸為直線x=-1,
∵拋物線與x軸的一個交點A在點(-3,0)和(-2,0)之間,
∴拋物線與x軸的另一個交點在點(0,0)和(1,0)之間,
∴當x=1時,y<0,
∴a+b+c<0,所以②正確;

∵拋物線的頂點為D(-1,2),
∴a-b+c=2,
∵拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1,
∴b=2a,
∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正確;

∵當x=-1時,二次函數有最大值為2,
即只有x=-1時,ax2+bx+c=2,
∴方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數根,所以④正確.
綜上所述,共有3個正確結論,
故答案為:3.

點評 本題考查了二次函數的圖象與系數的關系,關鍵是掌握以下性質:二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線,當a>0,拋物線開口向上;對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$;拋物線與y軸的交點坐標為(0,c);當b2-4ac>0,拋物線與x軸有兩個交點;當b2-4ac=0,拋物線與x軸有一個交點;當b2-4ac<0,拋物線與x軸沒有交點

練習冊系列答案
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