Question

4．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=5，AD=4，則AE的長為$\frac{4}{7}$．

Answer 1

分析 連接BD、CD，由勾股定理先求出BD的長，再利用△ABD∽△BED，得出$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$，可解得DE的長，由AE=AD-DE求解即可得出答案．

解答 解：如圖1，連接BD、CD，
，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD=BD=3，
∴∠CBD=∠DAB，
∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，
∴△ABD∽△BED，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$，即$\frac{DE}{3}$=$\frac{3}{4}$，
解得DE=$\frac{9}{4}$，
∴AE=AD-DE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$．
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點評 此題主要考查了三角形相似的判定和性質及圓周角定理，解答此題的關鍵是得出△ABD∽△BED．