分析 連接BD、CD,由勾股定理先求出BD的長,再利用△ABD∽△BED,得出$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$,可解得DE的長,由AE=AD-DE求解即可得出答案.
解答 解:如圖1,連接BD、CD,,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=3,
∵弦AD平分∠BAC,
∴CD=BD=3,
∴∠CBD=∠DAB,
∵∠BAD=∠EBD,∠ADB=∠BDE,
∴△ABD∽△BED,
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$,即$\frac{DE}{3}$=$\frac{3}{4}$,
解得DE=$\frac{9}{4}$,
∴AE=AD-DE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$.
故答案為:$\frac{7}{4}$.
點評 此題主要考查了三角形相似的判定和性質及圓周角定理,解答此題的關鍵是得出△ABD∽△BED.
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