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4.如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,弦AD平分∠BAC,交BC于點E,AB=5,AD=4,則AE的長為$\frac{4}{7}$.

分析 連接BD、CD,由勾股定理先求出BD的長,再利用△ABD∽△BED,得出$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$,可解得DE的長,由AE=AD-DE求解即可得出答案.

解答 解:如圖1,連接BD、CD,

∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=3,
∵弦AD平分∠BAC,
∴CD=BD=3,
∴∠CBD=∠DAB,
∵∠BAD=∠EBD,∠ADB=∠BDE,
∴△ABD∽△BED,
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DB}{AD}$,即$\frac{DE}{3}$=$\frac{3}{4}$,
解得DE=$\frac{9}{4}$,
∴AE=AD-DE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$.
故答案為:$\frac{7}{4}$.

點評 此題主要考查了三角形相似的判定和性質及圓周角定理,解答此題的關鍵是得出△ABD∽△BED.

練習冊系列答案
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14.計算
(1)3×(-1)3+(-5)×(-3)
(2)($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)÷(-$\frac{1}{6}$)+(-2)2×(-14)
(3)(-3)2÷3+($\frac{1}{2}$-$\frac{2}{3}$)×12-(-1)2012
(4)-24-|-5|+6÷(-$\frac{2}{3}$)×$\root{3}{-8}$.

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