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7.點(diǎn)P(t,0)是x軸上的動點(diǎn),Q(0,2t)是y軸上的動點(diǎn),若線段PQ與函數(shù)y=-|x|2+2|x|+3的圖象只有一個公共點(diǎn),則t的取值是$\frac{3}{2}$≤t<3或t=$\frac{7}{2}$或t≤-3.

分析 先將函數(shù)y=-|x|2+2|x|+3的解析式去掉絕對值,變形為:y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{(x≥0)}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{(x<0)}\end{array}\right.$,利用待定系數(shù)法求線段PQ的解析式,分情況進(jìn)行討論:①當(dāng)線段PQ過(0,3)和過(3,0)時,計算出t的值,利用圖形得出t的取值;②將y=-2x+2t代入y=-x2+2x+3(x≥0)中得,根據(jù)△=0得出t的值;③當(dāng)線段PQ過B(-3,0),如圖3,同理得出t的取值.

解答 解:函數(shù)y=-|x|2+2|x|+3的解析式可化為:
y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{(x≥0)}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{(x<0)}\end{array}\right.$,
設(shè)線段PQ所在的直線的解析式為:y=kx+b,
將P(t,0)、Q(0,2t)代入得:$\left\{\begin{array}{l}{tk+b=0}\\{b=2t}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2t}\end{array}\right.$,
∴線段PQ所在的直線的解析式為:y=-2x+2t;
①當(dāng)線段PQ過(0,3)時,即點(diǎn)Q與C重合,如圖1,

2t=3,
t=$\frac{3}{2}$,
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時,線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{(x≥0)}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{(x<0)}\end{array}\right.$只有一個公共點(diǎn);
當(dāng)線段PQ過(3,0)時,即點(diǎn)P與A(3,0)重合,如圖2,

t=3,
此時線線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{(x≥0)}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{(x<0)}\end{array}\right.$有兩個公共點(diǎn),
∴當(dāng)$\frac{3}{2}$≤t<3時,線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{(x≥0)}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{(x<0)}\end{array}\right.$只有一個公共點(diǎn);
②將y=-2x+2t代入y=-x2+2x+3(x≥0)中得,
-x2+2x+3=-2x+2t,
-x2+4x+3-2t=0,
△=16-4×(-1)×(3-2t)=28-8t=0,
t=$\frac{7}{2}$,
∴當(dāng)t=$\frac{7}{2}$時,線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{(x≥0)}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{(x<0)}\end{array}\right.$也只有一個公共點(diǎn);
③當(dāng)線段PQ過B(-3,0),如圖3,即P與B(-3,0)重合,

線段PQ只與y=-x2-2x+3(x<0)有一個公共點(diǎn),此時t=-3,
∴當(dāng)t≤-3時,線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{(x≥0)}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{(x<0)}\end{array}\right.$也只有一個公共點(diǎn);
綜上所述,當(dāng)線段PQ與函數(shù)y=-|x|2+2|x|+3只有一個公共點(diǎn)時,t的取值是$\frac{3}{2}$≤t<3或t=$\frac{7}{2}$或t≤-3,
故答案為:$\frac{3}{2}$≤t<3或t=$\frac{7}{2}$或t≤-3.

點(diǎn)評 本題考查了兩個二次函數(shù)組合的復(fù)合函數(shù)的取值問題,利用數(shù)形結(jié)合的思想,從特殊位置著手,并注意是線段與函數(shù)有一個交點(diǎn),采用了分類討論的思想解決此題.

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