Question

7．點(diǎn)P（t，0）是x軸上的動點(diǎn)，Q（0，2t）是y軸上的動點(diǎn)，若線段PQ與函數(shù)y=-|x|²+2|x|+3的圖象只有一個公共點(diǎn)，則t的取值是$\frac{3}{2}$≤t＜3或t=$\frac{7}{2}$或t≤-3．

Answer 1

分析 先將函數(shù)y=-|x|²+2|x|+3的解析式去掉絕對值，變形為：y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{（x＜0）}\end{array}\right.$，利用待定系數(shù)法求線段PQ的解析式，分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)線段PQ過（0，3）和過（3，0）時，計算出t的值，利用圖形得出t的取值；②將y=-2x+2t代入y=-x²+2x+3（x≥0）中得，根據(jù)△=0得出t的值；③當(dāng)線段PQ過B（-3，0），如圖3，同理得出t的取值．

解答 解：函數(shù)y=-|x|²+2|x|+3的解析式可化為：
y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{（x＜0）}\end{array}\right.$，
設(shè)線段PQ所在的直線的解析式為：y=kx+b，
將P（t，0）、Q（0，2t）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{tk+b=0}\\{b=2t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2t}\end{array}\right.$，
∴線段PQ所在的直線的解析式為：y=-2x+2t；
①當(dāng)線段PQ過（0，3）時，即點(diǎn)Q與C重合，如圖1，

2t=3，
t=$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時，線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{（x＜0）}\end{array}\right.$只有一個公共點(diǎn)；
當(dāng)線段PQ過（3，0）時，即點(diǎn)P與A（3，0）重合，如圖2，

t=3，
此時線線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{（x＜0）}\end{array}\right.$有兩個公共點(diǎn)，
∴當(dāng)$\frac{3}{2}$≤t＜3時，線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{（x＜0）}\end{array}\right.$只有一個公共點(diǎn)；
②將y=-2x+2t代入y=-x²+2x+3（x≥0）中得，
-x²+2x+3=-2x+2t，
-x²+4x+3-2t=0，
△=16-4×（-1）×（3-2t）=28-8t=0，
t=$\frac{7}{2}$，
∴當(dāng)t=$\frac{7}{2}$時，線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{（x＜0）}\end{array}\right.$也只有一個公共點(diǎn)；
③當(dāng)線段PQ過B（-3，0），如圖3，即P與B（-3，0）重合，

線段PQ只與y=-x²-2x+3（x＜0）有一個公共點(diǎn)，此時t=-3，
∴當(dāng)t≤-3時，線段PQ與函數(shù)y=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3}&{（x≥0）}\\{-{x}^{2}-2x+3}&{（x＜0）}\end{array}\right.$也只有一個公共點(diǎn)；
綜上所述，當(dāng)線段PQ與函數(shù)y=-|x|²+2|x|+3只有一個公共點(diǎn)時，t的取值是$\frac{3}{2}$≤t＜3或t=$\frac{7}{2}$或t≤-3，
故答案為：$\frac{3}{2}$≤t＜3或t=$\frac{7}{2}$或t≤-3．

點(diǎn)評 本題考查了兩個二次函數(shù)組合的復(fù)合函數(shù)的取值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想，從特殊位置著手，并注意是線段與函數(shù)有一個交點(diǎn)，采用了分類討論的思想解決此題．