Question

2．如圖，AB為⊙O的直徑，$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，CO的延長線交⊙O于點E，BA，ED的延長線交于點F．
（1）求證：$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$；
（2）若$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，求$\frac{AE}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{CB}+\widehat{BE}=\widehat{CD}+\widehat{DE}$，可以證明結論成立；
（2）要求$\frac{AE}{BE}$的值，根據三角形相似和勾股定理可以求得$\frac{AE}{BE}$的值，本題得以解決．

解答 （1）證明：∵$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{CB}+\widehat{BE}=\widehat{CD}+\widehat{DE}$，
∴$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∵$\widehat{AC}=\widehat{BE}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$；
（2）連接BD，
∵$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∴BD⊥EC，
∵DEG∽△AEB，
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BD}{DE}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{AB}{2DE}$，
∵△FAE∽△FDB，
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{DB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AB}{2DE}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{4}{3}$，
設AB=4x，BE=3x，
∴AE=$\sqrt{7}$x，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題考查三角形相似性質和判定、圓周角定理、勾股定理，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形的相似解答．