Question

13．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于點E，AD、BC的延長線交于點H，過點E作FG∥AB交AD于點F，交BC于點G，求證：AG、BF、EH三線共點．

Answer 1

分析 由平行線分線段成比例定理得出$\frac{HF}{FA}=\frac{HE}{EQ}$，$\frac{BG}{GH}=\frac{EQ}{HE}$，因此$\frac{HF}{FA}$•$\frac{BG}{GH}$=1，同理：$\frac{HD}{DA}•\frac{BC}{CH}$=1，由點E為△HAB的賽瓦點，得出$\frac{HD}{DA}•\frac{AQ}{QB}•\frac{BC}{CH}$=1，得出$\frac{AQ}{QB}$=1，因此$\frac{HF}{FA}•\frac{AQ}{QB}•\frac{BG}{GH}$=1，即可得出結論．

解答 證明：∵FG∥AB，
∴$\frac{HF}{FA}=\frac{HE}{EQ}$，$\frac{BG}{GH}=\frac{EQ}{HE}$，
∴$\frac{HF}{FA}$•$\frac{BG}{GH}$=1，
同理：$\frac{HD}{DA}•\frac{BC}{CH}$=1，
∵點E為△HAB的賽瓦點，
∴$\frac{HD}{DA}•\frac{AQ}{QB}•\frac{BC}{CH}$=1，
∴$\frac{AQ}{QB}$=1，
∴$\frac{HF}{FA}•\frac{AQ}{QB}•\frac{BG}{GH}$=1，
∴AG、BF、EH三線共點．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理、賽瓦定理等知識；熟練掌握平行線分線段成比例定理和賽瓦定理是解決問題的關鍵．