Question

19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），動(dòng)點(diǎn)M，N分別從O，B同時(shí)出發(fā)．以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中，點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿BN向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，設(shè)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4）．
（1）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-$\frac{3}{4}$t+3），PC=$\frac{5}{4}$t（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）求當(dāng)t為何值時(shí)，以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；
（3）在平面內(nèi)是否存在一個(gè)點(diǎn)E，使以C、P、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)C坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線(xiàn)AC解析式，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論；
（2）先得出AC=5，BN=t，CN=4-t，用相似三角形的性質(zhì)列出方程即可求出時(shí)間t；
（3）由菱形的性質(zhì)，鄰邊相等即可分三種情況列方程即可求出時(shí)間t．

解答 解：（1）∵四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（4，0），（4，3），
∴C（0，3），∴直線(xiàn)AC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵點(diǎn)M從點(diǎn)O向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，
∴OM=t，當(dāng)x=t時(shí)，y=-$\frac{3}{4}$t+3，
∴P（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
∵C（0，3），
∴CP=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{3}{4}t+3-3）^{2}}$=$\frac{5}{4}$t，
故答案為：t，-$\frac{3}{4}$t+3，$\frac{5}{4}$t，
（2）∵A（4，0），B（4，3），
∴OA=BC=4，OB=3，
∴AC=5，
由運(yùn)動(dòng)知，BN=t，
∴CN=4-t，
由（1）知，CP=$\frac{5}{4}$t，
∵∠ACB=∠PCN，以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
∴①當(dāng)$\frac{BC}{CN}=\frac{AC}{CP}$時(shí)，
∴$\frac{4}{4-t}=\frac{5}{\frac{5}{4}t}$，
∴t=2，
②當(dāng)$\frac{BC}{CP}=\frac{AC}{CN}$時(shí)，
∴$\frac{4}{\frac{5}{4}t}=\frac{5}{4-t}$，
∴t=$\frac{64}{41}$，
∴t為2或$\frac{64}{41}$時(shí)，以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
（3）由（1）知，CP=$\frac{5}{4}$t，P（t，-$\frac{3}{4}$t+3），
由（2）知，CN=4-t，
∴N（4-t，3），
∴PN=$\sqrt{（4-t-t）^{2}+（3+\frac{3}{4}t-3）^{2}}$=$\sqrt{（2t-4）^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$，
∵以C、P、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴①當(dāng)CP=CN時(shí)，
∴$\frac{5}{4}$t=4-t，
∴t=$\frac{16}{9}$，
②當(dāng) CP=PN時(shí)，$\frac{5}{4}$t=$\sqrt{（2t-4）^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$，
∴t=4（舍）或t=$\frac{4}{3}$
③當(dāng)CN=PN時(shí)，4-t=$\sqrt{（2t-4）^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$，
∴t=0（舍）或t=$\frac{128}{57}$，
以C、P、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，t的值為$\frac{16}{9}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{128}{57}$秒．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似三角形綜合題，主要考查了平面坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的公式，相似三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵分類(lèi)討論思想，是一道比較簡(jiǎn)單的中考常考題．