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19.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC為矩形,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,3),動(dòng)點(diǎn)M,N分別從O,B同時(shí)出發(fā).以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng).其中,點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).其中,點(diǎn)M沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N沿BN向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)M作MP⊥OA,交AC于P,連接NP,設(shè)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<4).
(1)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(t,-$\frac{3}{4}$t+3),PC=$\frac{5}{4}$t(用含x的代數(shù)式表示);
(2)求當(dāng)t為何值時(shí),以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似;
(3)在平面內(nèi)是否存在一個(gè)點(diǎn)E,使以C、P、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值,若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)先確定出點(diǎn)C坐標(biāo),進(jìn)而得出直線(xiàn)AC解析式,即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo),最后用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論;
(2)先得出AC=5,BN=t,CN=4-t,用相似三角形的性質(zhì)列出方程即可求出時(shí)間t;
(3)由菱形的性質(zhì),鄰邊相等即可分三種情況列方程即可求出時(shí)間t.

解答 解:(1)∵四邊形OABC為矩形,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(4,0),(4,3),
∴C(0,3),∴直線(xiàn)AC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3,
∵點(diǎn)M從點(diǎn)O向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng),
∴OM=t,當(dāng)x=t時(shí),y=-$\frac{3}{4}$t+3,
∴P(t,-$\frac{3}{4}$t+3),
∵C(0,3),
∴CP=$\sqrt{{t}^{2}+(-\frac{3}{4}t+3-3)^{2}}$=$\frac{5}{4}$t,
故答案為:t,-$\frac{3}{4}$t+3,$\frac{5}{4}$t,
(2)∵A(4,0),B(4,3),
∴OA=BC=4,OB=3,
∴AC=5,
由運(yùn)動(dòng)知,BN=t,
∴CN=4-t,
由(1)知,CP=$\frac{5}{4}$t,
∵∠ACB=∠PCN,以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,
∴①當(dāng)$\frac{BC}{CN}=\frac{AC}{CP}$時(shí),
∴$\frac{4}{4-t}=\frac{5}{\frac{5}{4}t}$,
∴t=2,
②當(dāng)$\frac{BC}{CP}=\frac{AC}{CN}$時(shí),
∴$\frac{4}{\frac{5}{4}t}=\frac{5}{4-t}$,
∴t=$\frac{64}{41}$,
∴t為2或$\frac{64}{41}$時(shí),以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
(3)由(1)知,CP=$\frac{5}{4}$t,P(t,-$\frac{3}{4}$t+3),
由(2)知,CN=4-t,
∴N(4-t,3),
∴PN=$\sqrt{(4-t-t)^{2}+(3+\frac{3}{4}t-3)^{2}}$=$\sqrt{(2t-4)^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$,
∵以C、P、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,
∴①當(dāng)CP=CN時(shí),
∴$\frac{5}{4}$t=4-t,
∴t=$\frac{16}{9}$,
②當(dāng) CP=PN時(shí),$\frac{5}{4}$t=$\sqrt{(2t-4)^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$,
∴t=4(舍)或t=$\frac{4}{3}$
③當(dāng)CN=PN時(shí),4-t=$\sqrt{(2t-4)^{2}+{\frac{9}{16}t}^{2}}$,
∴t=0(舍)或t=$\frac{128}{57}$,
以C、P、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí),t的值為$\frac{16}{9}$或$\frac{4}{3}$或$\frac{128}{57}$秒.

點(diǎn)評(píng) 此題是相似三角形綜合題,主要考查了平面坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間的公式,相似三角形的性質(zhì),菱形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵分類(lèi)討論思想,是一道比較簡(jiǎn)單的中考常考題.

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(2)連接PB,若△POB的面積不大于4且不等于0,求t的范圍;
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