Question

4．如圖甲所示，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過．點E作EF⊥DE，交直線BC于點F．
（1）求證：CD=CF；
（2）若CD=2，求EF的長；
（3）若改變點D、E的位置，使點D在BC的延長線上，點E在AC的延長線上，其他條件與（1）相同，請畫出圖形（如圖乙所示），探究CD=CF還成立嗎？（只回答，不證明）．

Answer 1

分析 （1）利用平行線判斷出△EDC是等邊三角形，得出CD=CE，∠CDE=∠CED=60°，再用直角和三角形的外角即可得出CE=CF，即可；
（2）利用含30°的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）同（1）的方法直接證明．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等邊三角形，
∴CD=CE，∠CDE=∠CED=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=30°，
∵∠F=∠ACB-∠CEF=60°-30°=30°，
∴CE=CF，
∴CD=CF
（2）∵△EDC是等邊三角形
∴DE=DC=2，
在Rt△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=2，
∴DF=2DE=4，
∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
（3）CD=CF還成立，
理由：如圖乙，

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等邊三角形，
∴CD=CE，∠CDE=∠CED=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠CEF=30°，
∵∠DFE=∠DCE-∠CEF=60°-30°=30°，
∴CE=CF，
∴CD=CF．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，勾股定理，判斷出△EDC是等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．