Question

13．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD為△ABC的角平分線，過點B作AD的垂線，分別交AD、AC的延長線于E、F兩點，連接CE．
（1）求證：BE=EF；
（2）求證：AD=2BE；
（3）求∠AEC的度數．

Answer 1

分析 （1）由ASA證明△ABE≌△AFE，得出對應邊相等即可；
（2）證出∠CAD=∠CBF，由ASA證明△ACD≌△BCF，即可得出結論；
（3）由全等三角形的性質和等腰三角形的性質、三角形內角和定理得出∠ABF=∠F=67.5°，求出∠CBE=22.5°，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CE=$\frac{1}{2}$BF=BE，得出∠ECB=∠CBE=22.5°，由三角形的外角性質得出∠CEF=45°，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵AD為△ABC的角平分線，BF⊥AD，
∴∠BAE=∠FAE，∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AEF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\\{∠BAE=∠FAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE=EF；
（2）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°，
∵∠F+∠CBF=90°，∠F+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠CBF，
在△ACD和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠BCF=90°}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠CAD=∠ABF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF=2BE；
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，
∴∠ABF=∠F=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CBE=67.5°-45°=22.5°，
∵∠BCF=90°，BE=EF，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF=BE，
∴∠ECB=∠CBE=22.5°，
∴∠CEF=2×22.5°=45°，
∴∠AEC=90°-45°=45°．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質、三角形內角和定理、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、直角三角形斜邊上的中線性質等知識；證明三角形全等是解決問題的關鍵．