Question

12．求代數式$\frac{{x}^{2}-3x+4}{{x}^{2}+3x+4}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 當x=0時，可求得代數式的值為1，當x≠0時，將原式變形為1-$\frac{6x}{{x}^{2}+3x+4}$，然后分子分母同時除以x的到原式=1-$\frac{6}{x+3+\frac{4}{x}}$，然后分為x＞0和x＜0兩種情況求解即可．

解答 解：當x=0時，代數式的值為1．
當x≠0時，將原式變形為1-$\frac{6x}{{x}^{2}+3x+4}$=1-$\frac{6}{x+3+\frac{4}{x}}$．
當x＞0時，x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4．
所以代數式的最小值=1-$\frac{6}{7}$=$\frac{1}{7}$．
當x＜0時，x+$\frac{4}{x}$≤-4
所以代數式的最大值=1-$\frac{6}{-4+3}$=1+6=7．
所以代數式的最大值為7，最小值為$\frac{1}{7}$．

點評 本題主要考查的是求代數式的值，找出代數式取得最大值和最小值的條件是解題的關鍵．