Question

18．如圖，正方形ABCD的邊長為1，對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點E，使CE=CA，連接AE，在AB上取一點N，使BN=BE，連接CN并延長，分別交BD，AE與點M，F，連接FO．
（1）求證：△ABE≌△CBN；
（2）求FO的長；
（3）直接寫出線段FM與CN的數量關系．

Answer 1

分析 （1）先判斷出AB=BC進而得出△ABE≌△CBN，
（2）先判斷出∠CFE=90°，進而判斷出AF=EF，即可得出FO是△ACE的中位線即可；
（3）先判斷出△ABE∽△COM即可得出CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CN，即可得出結論．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的邊長為1，
∴AB=BC=1，AC=$\sqrt{2}$，∠ABC=90°，
在△ABE和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBN=90°}\\{BE=BN}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBN，
（2）由（1）知，△ABE≌△CBN，
∴∠BNC=∠AEB，
∵∠BNC+∠BCN=90°，
∴∠AEB+∠BCN=90°，
∴∠EFC=90°，
∵AC=CE，
∴AF=EF，
∵點O是正方形ABCD的對角線的交點，
∴OA=OC，
∴OF是△ACE的中位線，
∴FO=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）由（1）知，△ABE≌△CBN，
∴AE=CN，
∵∠BAE=∠BCN，∠ACN=∠BCN，
∴∠BAE=∠OCM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠ABE=∠COM=90°，
∴△ABE∽△COM，
∴$\frac{CM}{AE}=\frac{OC}{AB}$，
∴$\frac{CM}{CN}=\frac{OC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CN，
由（1）知，$\frac{FO}{BC}=\frac{FM}{CM}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴FM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM=$\frac{1}{2}$CN．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形的中位線，等腰三角形的性質，相似三角形的性質和判定，解本題的關鍵是得出∠EFC=90°，是一道中等難度的中考常考題．