Question

10．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．
（1）如圖1，若點D關于直線AE的對稱點為F，求證：△ABD≌△ACF；
（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE²=BD²+CE²；
（3）如圖3，若α=45°，點E在BC的延長線上，請直接寫出DE²，BD²，CE²三者之間的等量關系．

Answer 1

分析 （1）根據軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α，再利用等式的性質判斷出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD≌△ACF；
（2）根據（1）得出的全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；
（3）結合（1）（2）的方法即可判斷出結論．

解答 解：（1）∵點D關于直線AE的對稱點為F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α
∴∠CAE+∠CAF=α
∵∠BAC=2∠DAE=2α．
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC-∠DAE=α，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（SAS），
（2）由（1）知，△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²，
（3）DE²=BD²+CE²；
理由：如圖，

∵∠BAC=2∠DAE=2α．
∴∠DAE=α，
∵點D關于直線AE的對稱點為F，
∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α
∴∠CAF=∠EAF+∠CAE=α+∠CAE
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=2α-∠DAC=2α-（∠DAE-∠CAE）=2α-（α-∠CAE）=α+∠CAE
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF²=CF²+CE²，
∴DE²=BD²+CE²，

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了軸對稱的性質，相似三角形的判定，同角的余角相等的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，此類題目，判斷出△ABD≌△ACF是解題的關鍵，類比的思想是解本題的重點．