Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，△AOB是邊長為6的等邊三角形，直線l與x軸、OA、AB分別交于點C、D、E，OC=AE．過點E作EF∥OA，交x軸于點F．
（1）點A的坐標為（3，3$\sqrt{3}$）（結果保留根號）
（2）求證：CO=OF；
（3）若AD=EF，求直線l對應的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AM⊥OB于M．求出OM、AM即可解決問題．
（2）如圖2中，作EN∥OB交OA于N．首先證明△AEN是等邊三角形，再證明四邊形ONEF是平行四邊形即可解決問題．
（3）首先證明AN=OD=DN=AE=2，推出D（1，$\sqrt{3}$），E（4，2$\sqrt{3}$），設直線l的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解方程組即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作AM⊥OB于M．

∵OA=AB，AM⊥OB，
∴OM=BM=3，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴點A坐標為（3，3$\sqrt{3}$）．
故答案為（3，3$\sqrt{3}$）

（2）如圖2中，作EN∥OB交OA于N．

∵△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵EN∥OB，
∴∠ANE=∠AOB=60°，∠AEN=∠ABO=60°，∠DNE=∠COD，
∴△AEN是等邊三角形，
∴AE=EN=CO，
∵EN∥OF，EF∥ON，
∴四邊形ONEF是平行四邊形，
∴OF=EN=OC，
∴CO=OF．

（3）如圖2中，在△DNE和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DNE=∠DOC}\\{∠NDE=∠ODC}\\{EN=OC}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△DOC，
∴DN=OD，
∵AD=EF=ON，
∴AN=OD=DN=AE=2，
∴D（1，$\sqrt{3}$），E（4，2$\sqrt{3}$），設直線l的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{4k+b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查一次函數的應用、等邊三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．