Question

17．已知m=$\sqrt{n+31}$-$\sqrt{n-5}$+$\sqrt{5-n}$，x=$\frac{1}{\sqrt{m}+\sqrt{n}}$，y=$\frac{1}{\sqrt{m}-\sqrt{n}}$，則代數式x²+xy-y²的值為1-4$\sqrt{30}$．

Answer 1

分析 先根據m=$\sqrt{n+31}$-$\sqrt{n-5}$+$\sqrt{5-n}$，求出n和m的值，然后求出x和y的值，代入代數式x²+xy-y²求解即可．

解答 解：∵m=$\sqrt{n+31}$-$\sqrt{n-5}$+$\sqrt{5-n}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-5≥0}\\{5-n≥0}\end{array}\right.$，
∴n=5，
m=$\sqrt{36}$=6，
∴x=$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{5}$，y=$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$=$\sqrt{6}+\sqrt{5}$，
∴x²+xy-y²
=（$\sqrt{6}-\sqrt{5}$）²+（$\sqrt{6}-\sqrt{5}$）（$\sqrt{6}+\sqrt{5}$）-（$\sqrt{6}+\sqrt{5}$）²
=11-2$\sqrt{30}$+1-11-2$\sqrt{30}$
=1-4$\sqrt{30}$．
故答案為：1-4$\sqrt{30}$．

點評 本題考查了二次根式的化簡求值，解答本題的關鍵在于根據m=$\sqrt{n+31}$-$\sqrt{n-5}$+$\sqrt{5-n}$，求出n和m的值，然后求出x和y的值，代入代數式x²+xy-y²求解．