Question

12．如圖1，在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線表達式為y=-$\frac{3}{5}$x+3．
（1）在x軸的正半軸上找出點M，使△AMB為等腰三角形，并求出所有符合要求的點M的坐標；
（2）如圖2，把△AOC沿對角線AC折疊（使△ACE和△ABC落在同一平面內），CE交AB于點F．
①試判斷△ACF的形狀，并說明理由；
②求重疊部分△ACF的面積；
③求直線CE的表達式．

Answer 1

分析 （1）分四種情形，分別討論求解即可．
（2）①結論：△AFC是等腰三角形．只要證明∠FAC=∠FCA即可．
②設AF=FC=x，在Rt△BCF中，由FC²=BF²+BC²，可得x²=（5-x）²+3²，解方程即可解決問題．
③求出點F、C坐標，理由待定系數法即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，

∵對角線AC所在直線表達式為y=-$\frac{3}{5}$x+3，
∴A（0，3），C（5，0），
∵四邊形AOCB是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=BC=3，OC=AB=5，
①當BA=BM₁時，在Rt△BCM₁中，CM₁=$\sqrt{B{{M}_{1}}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴M₁（1，0）．
②當AM₂=BM₂時，易知M₂（$\frac{5}{2}$，0）．
③當AM₃=AB時，可得OM₃=4，
∴M₃（4，0）．
④當BM₄=AB時，CM₄=4，
∴M₄（9，0）．
綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（1，0）或（$\frac{5}{2}$，0）或（4，0）或（9，0）．


（2）如圖2中，

①結論：△AFC是等腰三角形．
理由：∵△ACE是由△AOC翻折得到，
∴∠ACO=∠ACE，
∵AB∥OC，
∴∠FAC=∠ACO，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC．
②設AF=FC=x，在Rt△BCF中，∵FC²=BF²+BC²，
∴x²=（5-x）²+3²，
∴x=$\frac{17}{5}$，
∴S_△FCA=$\frac{1}{2}$•AF•CB=$\frac{1}{2}$×$\frac{17}{5}$×3=$\frac{51}{10}$．

③∵F（$\frac{17}{5}$，3），C（5，0），
設直線CF的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{17}{5}k+b=3}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{15}{8}}\\{b=\frac{75}{8}}\end{array}\right.$，
∴直線CF的解析式為y=-$\frac{15}{8}$x+$\frac{75}{8}$．

點評 本題考查一次函數綜合題、待定系數法、矩形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用福利討論的思想思考問題，靈活運用待定系數法，屬于中考�？碱}型．