Question

19．在平面直角坐標系中，拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4的圖象與x軸交于B，C兩點（B在C的左側），與y軸交于點A．
（1）求出點A，B，C的坐標．
（2）在拋物線上有一動點P，拋物線的對稱軸上有另一動點Q，若以B，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點P的坐標．
（3）向右平移拋物線，使平移后的拋物線恰好經過△ABC的外心，求出平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0和y=0代入可求得點A，B，C的坐標；
（2）利用配方法求出拋物線的頂點坐標，分三種情況：
當P在x軸的上方時，即為拋物線的頂點P（3，$\frac{25}{4}$）；
當P在x軸的下方時，有兩種情況：①當P在拋物線對稱軸的左側時，如圖2，②當P在拋物線對稱軸的右側時，如圖3，根據PQ=BC=10，求出橫坐標后再求縱坐標；
（3）通過證明△AOB∽△COA，得△ABC是直角三角形，得△ABC的外心E的坐標為（3，0），則拋物線向右平移5個單位，由此寫出平移后的拋物線的解析式．

解答 解：（1）當x=0時，y=4，
∴與y軸交點A（0，4），
當y=0時，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=0，
解得：x=-2或8，
∴B（-2，0），C（8，0）；
（2）y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{25}{4}$，
當P在x軸的上方時，即為拋物線的頂點P（3，$\frac{25}{4}$）時，可以構成平行四邊形BPCQ，如圖1，
當P在x軸的下方時，
∵BC=2+8=10，
若四邊形BPCQ為平行四邊形，則BC∥PQ，BC=PQ=10，
有兩種情況：①當P在拋物線對稱軸的左側時，如圖2，
∴點P的橫坐標為-7，
當x=-7時，y=-$\frac{1}{4}$×（-7）²+$\frac{3}{2}$×（-7）+4=-$\frac{75}{4}$，
此時P（-7，-$\frac{75}{4}$）；
②當P在拋物線對稱軸的右側時，如圖3，
∴點P的橫坐標為13，
當x=13時，y=-$\frac{1}{4}$×13²+$\frac{3}{2}$×13+4=-$\frac{75}{4}$，
此時P（13，-$\frac{75}{4}$）；
綜上所述，點P的坐標為P（3，$\frac{25}{4}$）或（-7，-$\frac{75}{4}$）或（13，-$\frac{75}{4}$）；
（3）如圖3，
∵A（0，4）、B（-2，0）、C（8，0）
∴OA=4，OB=2，OC=8，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OA}{OC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OA}{OC}$，
∵∠AOB=∠AOC=90°，
∴△AOB∽△COA，
∴∠BAO=∠ACO，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BAO+∠OAC=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外心就是斜邊AB的中點E，
∵BC=10，
∴BC的中點E的坐標為（3，0），
即平移后的解析式經過E（3，0），
∴相當于把原拋物線向右平移5個單位，
∴平移后的解析式為：y=-$\frac{1}{4}$（x-3-5）²+$\frac{25}{4}$=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+4x-$\frac{39}{4}$．

點評 本題是二次函數的綜合題，難度適中，考查了拋物線與兩坐標軸交點的坐標、平移的原則、利用配方法求頂點坐標等知識，分別令x=0和y=0代入解析式可求得拋物線與y軸、x軸的交點坐標，熟記平移的原則：上→加，下→減，左→加，右→減；本題也可以看作是拋物線與x軸的交點向右平移了5個單位，則平移后與x軸的交點分別是（3，0）和（13，0），二次項系數不變，則解析式為：y=-$\frac{1}{4}$（x-3）（x-13），化成一般式即可．