Question

2．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3交x軸交于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P從O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作DQ⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，連接CP、DP．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（I）當(dāng)t=1時(shí)．求線段PQ的長；
（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的式子表示）；
（3）在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在t的值，使△DPQ與△COP相似？若存在．求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先確定出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，再由運(yùn)動(dòng)即可得出PQ；
（2）先確定出直線BC解析式，進(jìn)而得出OQ，代入直線BC解析式中，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）先由運(yùn)動(dòng)表示出OP，PQ，再分兩種情況討論計(jì)算即可．

解答 解：（1）拋物線y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3交x軸交于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，3），
∴OB=4，
當(dāng)t=1時(shí)，OP=t=1，BQ=t=1，
∴PQ=OB-OP-BQ=4-1-1=2；
（2）∵B（4，0），C（0，3），
∴直線BC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+3，
由運(yùn)動(dòng)有，BQ=t，
∴OQ=4-t，
∴DQ=-$\frac{3}{4}$（4-t）+3=$\frac{3}{4}$t，
∴D（4-t，$\frac{3}{4}$t）；
（3）∵C（0，3），∴OC=3，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，
由運(yùn)動(dòng)知，OP=t，BQ=t，
∴PQ=4-2t，
由（2）知，DQ=$\frac{3}{4}$t，
∵DQ⊥x軸，
∴∠COP=∠DQP=90°，
∵△DPQ與△COP相似，
∴Ⅰ、$\frac{OC}{DQ}=\frac{OP}{PQ}$，
∴$\frac{3}{\frac{3}{4}t}=\frac{t}{4-2t}$，
∴t=-4-4$\sqrt{2}$（舍）或t=4$\sqrt{2}$-4，
Ⅱ、$\frac{OC}{PQ}=\frac{OP}{DQ}$，
∴$\frac{3}{4-2t}=\frac{t}{\frac{3}{4}t}$，
∴t=0（舍）或t=$\frac{7}{32}$；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，
由運(yùn)動(dòng)知，OP=t，BQ=t，
∴PQ=2t-4，
由（2）知，DQ=$\frac{3}{4}$t，
∵DQ⊥x軸，
∴∠COP=∠DQP=90°，
∵△DPQ與△COP相似，
∴Ⅰ、$\frac{OC}{DQ}=\frac{OP}{PQ}$，
∴$\frac{3}{\frac{3}{4}t}=\frac{t}{2t-4}$，
∴t=4（舍）
Ⅱ、$\frac{OC}{PQ}=\frac{OP}{DQ}$，
∴$\frac{3}{2t-4}=\frac{t}{\frac{3}{4}t}$
∴t=0（舍）或t=$\frac{25}{8}$；
即：△DPQ與△COP相似時(shí)，t的值為4$\sqrt{2}$-4或$\frac{7}{32}$或$\frac{25}{8}$

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是表示出OP，PQ，是一道中等難度的動(dòng)點(diǎn)問題．