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17.如圖所示,已知函數y=$\frac{k}{x}$的圖象與直線OA交于點A(1,$\sqrt{3}$),函數圖象上一點B,x正半軸上的任意一點C,OB平分∠AOC.
(1)直接寫出k的值和∠AOC的度數;
(2)求點B的坐標;
(3)若點P是直線OB上一動點,當點P運動到何處時,△ABP與△AOB相似,說明理由,并求出此時OP的長.

分析 (1)如圖1中,把點A(1,$\sqrt{3}$)代入y=$\frac{k}{x}$,即可求出k,作AE⊥OC于E,根據tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$,可以求出∠AOC的值.
(2)如圖2中,作BF⊥OC于F.因為OB平分∠AOC,所以∠BOF=30°,設BF=a,則OF=$\sqrt{3}$a,可得B($\sqrt{3}$a,a),代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中,求出a即可解決問題.
(3)如圖3中,當∠PAB=∠AOB=30°時,△APB∽△AOB,由△APB∽△OAB,得$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$,推出PB=$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$,由此即可解決問題.

解答 解:(1)如圖1中,作AE⊥OC于E.

∵A(1,$\sqrt{3}$),點A在y=$\frac{k}{x}$上,
∴k=$\sqrt{3}$,OE=1,AE=$\sqrt{3}$,
∴tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$,
∴∠AOC=60°.

(2)如圖2 中,作BF⊥OC于F.

∵OB平分∠AOC,
∴∠BOF=30°,設BF=a,則OF=$\sqrt{3}$a,
∴B($\sqrt{3}$a,a),代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中,得a=1或-1(舍棄),
∴點B坐標($\sqrt{3}$,1).

(3)如圖3中,當∠PAB=∠AOB=30°時,△APB∽△AOB.

∵OA=OB=2,∠AOB=30°,AB=$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$,
∴∠OAB=∠OBA=75°,
∴∠ABO=∠ABP,∵∠BAP=∠BOA,
∴△APB∽△OAB,
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$,
∴PB=$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$,
∴OP=2-(4-2$\sqrt{3}$)=2$\sqrt{3}$-2.
∴當點P運動到OP=2$\sqrt{3}$-2時,△APB∽△AOB.

點評 本題考查反比例函數綜合題、角平分線的性質、30度的直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點間距離公式,勾股定理等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會添加常用輔助線,屬于中考?碱}型.

練習冊系列答案
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7.如圖1,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,點A(5,5)為第一象限內一點,點B在x軸正半軸上,且∠AOB=45°,OA=OB.
(1)求點B的坐標;
(2)動點P以每秒2個單位長度的速度,從點O出發,沿x軸正半軸勻速運動,設點P的運動時間為t秒,△ABP的面積為S,請用含有t的式子表示S(S≠0),并直接寫出t的取值范圍;
(3)如圖2,在(2)的條件下,點D坐標為(2,0),連接AD,AK⊥AD,過點B作x軸的垂線交AK于點K,過點A作x軸的平行線a,在點P的運動過程中,直線a上是否存在一點R,使△PKR是以PR為腰的等腰直角三角形?若存在,求出點R坐標;若不存在,請說明理由.

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8.先化簡,再求值:$\frac{1}{{x}^{2}-x}$-$\frac{x-2}{{x}^{2}-2x+1}$÷$\frac{x-2}{x-1}$,其中x=-$\frac{1}{2}$.

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5.已知拋物線y=a(x+m)2+b與x軸由交于點(-5,0)、(3,0)(a、b、m均為常數,a≠0),則拋物線y=a(x+m-2)2+b與x軸交于點(-3,0),(5,0).

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12.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=4cm,CD是中線,點E,F同時從點D出發,以相同的速度分別沿DC、DB方向移動,當點E到達點C時,運動停止.直線AE分別與CF、BC相于點G、H,則在點E、F移動的過程中,點G移動路線的長度為( 。
A.2B.πC.$\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$π

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2.如圖,平面直角坐標系中,拋物線y=-$\frac{3}{4}$x2+$\frac{9}{4}$x+3交x軸交于點A、B,交y軸于點C,點P從O出發,以每秒1個單位的速度向終點B運動,同時點Q從B出發,以每秒1個單位的速度向終點O運動,過點Q作DQ⊥x軸,交BC于點D,連接CP、DP.設運動時間為t.
(I)當t=1時.求線段PQ的長;
(2)求點D的坐標(用含t的式子表示);
(3)在點P,Q的運動過程中,是否存在t的值,使△DPQ與△COP相似?若存在.求出t的值;若不存在,請說明理由.

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9.已知△ABC為等邊三角形,以AB為斜邊作Rt△ADB,∠ADB=90°,AD=1且∠ABD=15°,則點C到BD的距離為$2+\sqrt{3}$.

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(1)4x2-8x+1=0   
(2)$\frac{1}{2}$x2+3x=1.

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