分析 (1)如圖1中,把點A(1,$\sqrt{3}$)代入y=$\frac{k}{x}$,即可求出k,作AE⊥OC于E,根據tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$,可以求出∠AOC的值.
(2)如圖2中,作BF⊥OC于F.因為OB平分∠AOC,所以∠BOF=30°,設BF=a,則OF=$\sqrt{3}$a,可得B($\sqrt{3}$a,a),代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中,求出a即可解決問題.
(3)如圖3中,當∠PAB=∠AOB=30°時,△APB∽△AOB,由△APB∽△OAB,得$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$,推出PB=$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$,由此即可解決問題.
解答 解:(1)如圖1中,作AE⊥OC于E.
∵A(1,$\sqrt{3}$),點A在y=$\frac{k}{x}$上,
∴k=$\sqrt{3}$,OE=1,AE=$\sqrt{3}$,
∴tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$,
∴∠AOC=60°.
(2)如圖2 中,作BF⊥OC于F.
∵OB平分∠AOC,
∴∠BOF=30°,設BF=a,則OF=$\sqrt{3}$a,
∴B($\sqrt{3}$a,a),代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中,得a=1或-1(舍棄),
∴點B坐標($\sqrt{3}$,1).
(3)如圖3中,當∠PAB=∠AOB=30°時,△APB∽△AOB.
∵OA=OB=2,∠AOB=30°,AB=$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$,
∴∠OAB=∠OBA=75°,
∴∠ABO=∠ABP,∵∠BAP=∠BOA,
∴△APB∽△OAB,
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$,
∴PB=$\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$,
∴OP=2-(4-2$\sqrt{3}$)=2$\sqrt{3}$-2.
∴當點P運動到OP=2$\sqrt{3}$-2時,△APB∽△AOB.
點評 本題考查反比例函數綜合題、角平分線的性質、30度的直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點間距離公式,勾股定理等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題,學會添加常用輔助線,屬于中考?碱}型.
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A. | 2 | B. | π | C. | $\sqrt{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$π |
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