Question

17．如圖所示，已知函數y=$\frac{k}{x}$的圖象與直線OA交于點A（1，$\sqrt{3}$），函數圖象上一點B，x正半軸上的任意一點C，OB平分∠AOC．
（1）直接寫出k的值和∠AOC的度數；
（2）求點B的坐標；
（3）若點P是直線OB上一動點，當點P運動到何處時，△ABP與△AOB相似，說明理由，并求出此時OP的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，把點A（1，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k，作AE⊥OC于E，根據tan∠AOE=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$，可以求出∠AOC的值．
（2）如圖2中，作BF⊥OC于F．因為OB平分∠AOC，所以∠BOF=30°，設BF=a，則OF=$\sqrt{3}$a，可得B（$\sqrt{3}$a，a），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，求出a即可解決問題．
（3）如圖3中，當∠PAB=∠AOB=30°時，△APB∽△AOB，由△APB∽△OAB，得$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$，推出PB=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作AE⊥OC于E．

∵A（1，$\sqrt{3}$），點A在y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=$\sqrt{3}$，OE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AOC=$\frac{AE}{OE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOC=60°．

（2）如圖2 中，作BF⊥OC于F．

∵OB平分∠AOC，
∴∠BOF=30°，設BF=a，則OF=$\sqrt{3}$a，
∴B（$\sqrt{3}$a，a），代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，得a=1或-1（舍棄），
∴點B坐標（$\sqrt{3}$，1）．

（3）如圖3中，當∠PAB=∠AOB=30°時，△APB∽△AOB．

∵OA=OB=2，∠AOB=30°，AB=$\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}+（\sqrt{3}-1）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴∠OAB=∠OBA=75°，
∴∠ABO=∠ABP，∵∠BAP=∠BOA，
∴△APB∽△OAB，
∴$\frac{AB}{OB}$=$\frac{PB}{AB}$，
∴PB=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}{2}$=4-2$\sqrt{3}$，
∴OP=2-（4-2$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$-2．
∴當點P運動到OP=2$\sqrt{3}$-2時，△APB∽△AOB．

點評 本題考查反比例函數綜合題、角平分線的性質、30度的直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點間距離公式，勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考�？碱}型．