Question

7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點A（5，5）為第一象限內(nèi)一點，點B在x軸正半軸上，且∠AOB=45°，OA=OB．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）動點P以每秒2個單位長度的速度，從點O出發(fā)，沿x軸正半軸勻速運動，設(shè)點P的運動時間為t秒，△ABP的面積為S，請用含有t的式子表示S（S≠0），并直接寫出t的取值范圍；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點D坐標(biāo)為（2，0），連接AD，AK⊥AD，過點B作x軸的垂線交AK于點K，過點A作x軸的平行線a，在點P的運動過程中，直線a上是否存在一點R，使△PKR是以PR為腰的等腰直角三角形？若存在，求出點R坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥OB于M，左側(cè)△OAB是等腰直角三角形，得出∠OAB=90°，∠ABO=45°，BM=OM=5，求出OB=10，即可得出點B的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況同理：當(dāng)0＜t≤5時，OP=2t，則PB=10-2t；當(dāng)t＞5時，OP=2t，則PB=2t-10；由三角形面積公式即可得出結(jié)果；
（3）由ASA證明△OAD≌△BAK，得出OD=BK=2，分兩種情況：當(dāng)∠PRK=90°時，點R與A重合，得出R（5，5）；當(dāng)∠RPK=90°時，①當(dāng)P在B的左側(cè)時，作RE⊥OB于E，證得△EPR≌△BKP，得出EP=BK=2，RE=PB=5，求出OE=3即可；②當(dāng)P在B的右側(cè)時，同理得出點R的坐標(biāo)為（17，5），即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）作AM⊥OB于M，如圖1所示：
∵∠AOB=45°，OA=BA，點A（5，5），
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，
∴∠ABO=45°，BM=OM=5，
∴OB=10，
∴點B的坐標(biāo)為（10，0）；
（2）當(dāng)0＜t≤5時，如圖2所示：
OP=2t，則PB=10-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$（10-2t）×5=25-5t；
當(dāng)t＞5時，如圖3所示：
OP=2t，則PB=2t-10，
∴S=$\frac{1}{2}$（2t-10）×5=5t-25；
綜上所述：S=25-5t（0＜t≤5）或S=5t-25（t＞5）；
（3）存在，∵AK⊥AD，∴∠DAK=90°=∠OAB，
∴∠OAD=∠BAK，
∵BK⊥OB，
∴∠ABK=90°-45°=45°，
在△OAD和△BAK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠BAK}&{\;}\\{OA=BA}&{\;}\\{∠AOD=∠ABK=45°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△BAK（ASA），
∴OD=BK=2，
當(dāng)∠PRK=90°時，點R與A重合，
∴R（5，5）；
當(dāng)∠RPK=90°時，
①當(dāng)P在B的左側(cè)時，如圖4所示：
作RE⊥OB于E，同理證得△EPR≌△BKP，
∴EP=BK=2，RE=PB=5，
∴OE=10-5-2=3，
∴R（3，5）；
②當(dāng)P在B的右側(cè)時，如圖5所示：
同理得出點R的坐標(biāo)為（17，5）；
綜上所述：直線a上存在點R，使△PKR是以PR為腰的等腰直角三角形，點R坐標(biāo)為（5，5）或（3，5）或（17，5）．
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點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，注意分類討論．