Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，C是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD交CE于點(diǎn)F．
（1）求證：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半徑及CE的長．

Answer 1

分析 （1）要證明CF﹦BF，可以證明∠1=∠2；AB是⊙O的直徑，則∠ACB﹦90°，又知CE⊥AB，則∠CEB﹦90°，則∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A，∠1﹦∠A，則∠1=∠2；
（2）在直角三角形ACB中，AB²=AC²+BC²，又知，BC=CD，所以可以求得AB的長，即可求得圓的半徑；再根據(jù)三角形相似可以求得CE的長．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-∠ABC，∴∠ECB=∠A．（2分）
又∵C是$\widehat{BD}$的中點(diǎn)，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DBC=∠A，
∴∠ECB=∠DBC，
∴CF=BF；

（2）解：∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BC=CD=6，
∵∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{BC2+AC2}$=$\sqrt{62+82}$=10，
∴⊙O的半徑為5，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CE=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．