分析 (1)要證明CF﹦BF,可以證明∠1=∠2;AB是⊙O的直徑,則∠ACB﹦90°,又知CE⊥AB,則∠CEB﹦90°,則∠2﹦90°-∠ACE﹦∠A,∠1﹦∠A,則∠1=∠2;
(2)在直角三角形ACB中,AB2=AC2+BC2,又知,BC=CD,所以可以求得AB的長,即可求得圓的半徑;再根據(jù)三角形相似可以求得CE的長.
解答 (1)證明:∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,∴∠A=90°-∠ABC.
∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,
∴∠ECB=90°-∠ABC,∴∠ECB=∠A.(2分)
又∵C是$\widehat{BD}$的中點(diǎn),
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$,
∴∠DBC=∠A,
∴∠ECB=∠DBC,
∴CF=BF;
(2)解:∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$,
∴BC=CD=6,
∵∠ACB=90°,
∴AB=$\sqrt{BC2+AC2}$=$\sqrt{62+82}$=10,
∴⊙O的半徑為5,
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$BC•AC,
∴CE=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$.
點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)等知識.此題綜合性很強(qiáng),難度適中,注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用,注意輔助線的作法.
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