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13.如圖,過△ABC的頂點A分別作對邊BC上的高線AD和中線AE,交BC于點D,E,規(guī)定λA=$\frac{DE}{BE}$,當點D與點E重合時,規(guī)定λA=0,另外對λB,λC作類似的規(guī)定.

(1)如圖2,已知在Rt△ABC中,∠A=30°,求 λA,λC
(2)判斷下列三個命題的真假(真命題打“√”,假命題打“×”):
①若△ABC中λA<1,則△ABC為銳角三角形;×
②若△ABC中λA=1,則△ABC為直角三角形;√
③若△ABC中λA>1,則△ABC為鈍角三角形.√.
(2)如圖3,在每個小正方形邊長都為1的4×4的方格紙上,畫一個△ABC,使其頂點在格點(即每個小正方形的頂點)上,且λA=2,面積也為2.

分析 (1)根據(jù)直角三角形斜邊中線、高的特點進行轉(zhuǎn)換即可得出答案;
(2)根據(jù)真假命題的定義即可得出答案;
(3)根據(jù)題目要求即可畫出圖象.

解答 解:(1)如圖,作BC邊上的中線AD,又AC⊥DC,
∴λA=$\frac{CD}{BD}$=1,
過點C分別作AB邊上的高CE和中線CF,
∵∠ACB=90°,
∴AF=CF,
∴∠ACF=∠CAF=30°,
∴∠CFE=60°,
∴λC=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{EF}{CF}$=cos60°=$\frac{1}{2}$;

(2)①在第(1)題中,λC=$\frac{1}{2}$,而△ABC是直角三角形,故命題錯誤;
②λA=1時,過頂點A的高線的垂足與三角形的頂點一定重合,故三角新一定是直角三角形,故命題正確;
③λA>1時,過頂點A的高線的垂足與三角形的頂點一定在邊的延長線上,則三角形一定是鈍角三角形,故命題正確.
故答案為:①×,②√,③√.

(3)如圖:

點評 本題考查了勾股定理,直角三角形斜邊中線、高的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值,同時考查了畫圖,真假命題的判斷,比較復(fù)雜,難度較大.

練習冊系列答案
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