Question

13．如圖，過△ABC的頂點A分別作對邊BC上的高線AD和中線AE，交BC于點D，E，規(guī)定λ_A=$\frac{DE}{BE}$，當點D與點E重合時，規(guī)定λ_A=0，另外對λ_B，λ_C作類似的規(guī)定．

（1）如圖2，已知在Rt△ABC中，∠A=30°，求 λ_A，λ_C；
（2）判斷下列三個命題的真假（真命題打“√”，假命題打“×”）：
①若△ABC中λ_A＜1，則△ABC為銳角三角形；×
②若△ABC中λ_A=1，則△ABC為直角三角形；√
③若△ABC中λ_A＞1，則△ABC為鈍角三角形．√．
（2）如圖3，在每個小正方形邊長都為1的4×4的方格紙上，畫一個△ABC，使其頂點在格點（即每個小正方形的頂點）上，且λ_A=2，面積也為2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形斜邊中線、高的特點進行轉(zhuǎn)換即可得出答案；
（2）根據(jù)真假命題的定義即可得出答案；
（3）根據(jù)題目要求即可畫出圖象．

解答 解：（1）如圖，作BC邊上的中線AD，又AC⊥DC，
∴λ_A=$\frac{CD}{BD}$=1，
過點C分別作AB邊上的高CE和中線CF，
∵∠ACB=90°，
∴AF=CF，
∴∠ACF=∠CAF=30°，
∴∠CFE=60°，
∴λ_C=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{EF}{CF}$=cos60°=$\frac{1}{2}$；

（2）①在第（1）題中，λ_C=$\frac{1}{2}$，而△ABC是直角三角形，故命題錯誤；
②λ_A=1時，過頂點A的高線的垂足與三角形的頂點一定重合，故三角新一定是直角三角形，故命題正確；
③λ_A＞1時，過頂點A的高線的垂足與三角形的頂點一定在邊的延長線上，則三角形一定是鈍角三角形，故命題正確．
故答案為：①×，②√，③√．

（3）如圖：

點評 本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊中線、高的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，同時考查了畫圖，真假命題的判斷，比較復(fù)雜，難度較大．