Question

15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，D是⊙O上一點，且OD⊥AC于點E，連結BD、CD．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）當∠ODB=30°時，求證：四邊形BCDO是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據垂徑定理證明$\widehat{CD}=\widehat{AD}$，然后根據等弧所對的圓周角相等證得；
（2）證明△OBC和△COD都是等邊三角形，則四邊形BCDO的四邊相等，據此即可證得四邊形是菱形．

解答 解：（1）連接OC．
∵OD⊥AC，
∴$\widehat{CD}=\widehat{AD}$，
∴∠AOD=∠COD，
∴∠ABD=∠CBD，即BD平分∠ABC；
（2）∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=2∠OBD=60°，∠BOD=120°，
又∵OC=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=OC=BC，∠BOC=60°，
∴∠COD=60°，
又∵OC=OD，
∴△COD是等邊三角形，
∴OC=OD=CD，
∴OD=CD=BC=OB，
∴四邊形BCDO是菱形．

點評 本題考查了垂徑定理和菱形的判定，正確證明△OBC和△COD都是等邊三角形是關鍵．