Question

20．如圖，點A是拋物線y=x²-4x對稱軸上的一點，連接OA，以A為旋轉中心將AO逆時針旋轉90°得到AO′，當O′恰好落在拋物線上時，點A的坐標為（2，-1）或（2，2）．

Answer 1

分析 根據拋物線對稱軸解析式設點A坐標為（2，m），作AP⊥y軸于點P，作O′Q⊥直線x=2，證△AOP≌△AO′Q得AP=AQ=2、PO=QO′=m，則點O′坐標為（2+m，m-2），將點O′坐標代入拋物線解析式得到關于m的方程，解之可得m的值，即可得答案．

解答 解：∵拋物線y=x²-4x對稱軸為直線x=-$\frac{-4}{2}$=2，
∴設點A坐標為（2，m），
如圖，作AP⊥y軸于點P，作O′Q⊥直線x=2，

∴∠APO=∠AQO′=90°，
∴∠QAO′+∠AO′Q=90°，
∵∠QAO′+∠OAQ=90°，
∴∠AO′Q=∠OAQ，
又∠OAQ=∠AOP，
∴∠AO′Q=∠AOP，
在△AOP和△AO′Q中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠APO=∠AQO′}\\{∠AOP=∠AO′Q}\\{AO=AO′}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△AO′Q（AAS），
∴AP=AQ=2，PO=QO′=m，
則點O′坐標為（2+m，m-2），
代入y=x²-4x得：m-2=（2+m）²-4（2+m），
解得：m=-1或m=2，
∴點A坐標為（2，-1）或（2，2），
故答案為：（2，-1）或（2，2）．

點評 本題考查了坐標與圖形的變換-旋轉，全等三角形的判定與性質，函數圖形上點的特征，根據全等三角形的判定與性質得出點O′的坐標是解題的關鍵．