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5.如圖1,一個半徑為2的半圓在平面作無滑動順時針滾動,可以把平面看做直線l,初始位置的半圓O與直線l相切于點C,AB∥l,滾動過程中,半圓O′與直線l相切于點D,點A、B、C在半圓O′上的對應點分別為A′、B′、C′.
(1)如圖2,當順時針滾動30°時,即∠C′O′D=30°,求CD.
(2)如圖3,滾動過程中,點O′恰好經過點B.
①請直接寫出CD=2;
②請你求出∠C′O′D;
③圖3中,兩個陰影面積分別為S1、S2
請直接寫出S1、S2的大小關系為:S1>S2(填“>”、“=”或“<”)
并直接寫出S1+S2=$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$(計算結果均保留π)

分析 (1)用含30°的直角三角形直接計算即可;
(2)①同(1)的方法計算即可;②利用兩次順時針滾動的角度之和即可得出結論;③分別求出扇形和三角形的面積直接比較大小和求和即可.

解答 解:(1)在Rt△CO'D中,∠C′O′D=30°,O'D=r=2,
∴O'D=$\sqrt{3}$CD,
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
(2)①∵點O′恰好經過點B.
∴OO'=O'D=OC=CD=2,
故答案為2,
②∵OO'=O'D=OC=CD=2,
∴四邊形OCDO'是菱形,
∵∠OCD=90°,
∴四邊形OCDO'是正方形,
∵O'C是對角線,
∴∠CO'D=45°,
∵∠C'O'D'=30°,
∴∠DOC'=∠CO'D+∠C'O'D'=75°,
③如圖3,∵∠C'O'D'=30°,
∴S1=$\frac{30π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{3}$>1
過點D'作D'E⊥OD,
在Rt△O'D'E中,O'D'=2,∠EO'D'=45°,
∴O'E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$O'D'=$\sqrt{2}$,
∴DE=O'D-O'E=2-$\sqrt{2}$,
∴S2=$\frac{1}{2}$CD•DE=$\frac{1}{2}$×2×(2-$\sqrt{2}$)=2-$\sqrt{2}$<1,
∴S1>S2,S1+S2=$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$
故答案為:>;$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$

點評 此題是圓的綜合題,主要考查了扇形的面積,三角形面積公式,正方形的判定,解本題的關鍵是找出順時針滾動的角度,在以往將等邊三角形滾動的題型上轉化到半圓上,是一道難度不大的好題.

練習冊系列答案
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15.(1)計算:$\root{3}{27}$-($\frac{1}{3}$)-1+(2-$\sqrt{2}$)0
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(2)若∠A=45°,⊙O的半徑為1,求BC的長.
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13.學完“等腰三角形”一章后,老師布置了一道思考題:如圖,點M,N分別在正三角形ABC的BC,CA邊上,且BM=CN,AM,BN交于點Q.求證:∠BQM=60°.
(1)請你完成這道思考題;
(2)做完(1)后,同學們在老師的啟發下進行了反思,提出了許多問題,如:
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換,得到的是否仍是真命題?
②若將題中的點M,N分別移動到BC,CA的延長線上,是否仍能得到∠BQM=60°?

請你作出判斷,在下列橫線上填寫“是”或“否”:①是;②是;選擇一個給出證明.

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20.如圖,點A是拋物線y=x2-4x對稱軸上的一點,連接OA,以A為旋轉中心將AO逆時針旋轉90°得到AO′,當O′恰好落在拋物線上時,點A的坐標為(2,-1)或(2,2).

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10.如圖,在平面直角坐標系中,O為坐標原點,A、B兩點的坐標分別為
A(m,0)、B(0,n)且|m-n-4|+$\sqrt{2n-8}$=0,點P從A出發,以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動,設點P運動時間為t秒.
(1)求OA、OB的長;
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(3)過P作直線AB的垂線,垂足為C,直線PC與y軸交于點D,在點P運動的過程中,是否存在這樣的點P,使△DOP≌△AOB?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由.

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17.“水是生命之源”,某城市自來水公司為了鼓勵居民節約用水,規定按以下標準收取水費:
用水量/月單價(元/m3
不超過20m33
超過20m3的部分4
另:每立方米用水加收0.2元的城市污水處理費
(1)如果某用戶1月份用水量為19m3,那么該用戶1月份應該繳納水費多少元.
(2)如果某用戶2月份共繳納水費80元,那么該用戶2月份用水多少立方米?
(3)若該用戶水表3月份出了故障,只有70%的用水量記入水表中,這樣該用戶在3月份只繳納了58.8元水費,那么該用戶3月份實際應該繳納水費多少元?

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15.已知一個圓錐的側面積是底面積的2倍,圓錐的母線長為2,則圓錐的底面半徑是(  )
A.$\frac{1}{2}$B.1C.$\sqrt{2}$D.$\frac{3}{2}$

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