Question

5．如圖1，一個半徑為2的半圓在平面作無滑動順時針滾動，可以把平面看做直線l，初始位置的半圓O與直線l相切于點C，AB∥l，滾動過程中，半圓O′與直線l相切于點D，點A、B、C在半圓O′上的對應點分別為A′、B′、C′．
（1）如圖2，當順時針滾動30°時，即∠C′O′D=30°，求CD．
（2）如圖3，滾動過程中，點O′恰好經過點B．
①請直接寫出CD=2；
②請你求出∠C′O′D；
③圖3中，兩個陰影面積分別為S₁、S₂，
請直接寫出S₁、S₂的大小關系為：S₁＞S₂（填“＞”、“=”或“＜”）
并直接寫出S₁+S₂=$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$（計算結果均保留π）

Answer 1

分析 （1）用含30°的直角三角形直接計算即可；
（2）①同（1）的方法計算即可；②利用兩次順時針滾動的角度之和即可得出結論；③分別求出扇形和三角形的面積直接比較大小和求和即可．

解答 解：（1）在Rt△CO'D中，∠C′O′D=30°，O'D=r=2，
∴O'D=$\sqrt{3}$CD，
∴CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
（2）①∵點O′恰好經過點B．
∴OO'=O'D=OC=CD=2，
故答案為2，
②∵OO'=O'D=OC=CD=2，
∴四邊形OCDO'是菱形，
∵∠OCD=90°，
∴四邊形OCDO'是正方形，
∵O'C是對角線，
∴∠CO'D=45°，
∵∠C'O'D'=30°，
∴∠DOC'=∠CO'D+∠C'O'D'=75°，
③如圖3，∵∠C'O'D'=30°，
∴S₁=$\frac{30π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{3}$＞1
過點D'作D'E⊥OD，
在Rt△O'D'E中，O'D'=2，∠EO'D'=45°，
∴O'E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$O'D'=$\sqrt{2}$，
∴DE=O'D-O'E=2-$\sqrt{2}$，
∴S₂=$\frac{1}{2}$CD•DE=$\frac{1}{2}$×2×（2-$\sqrt{2}$）=2-$\sqrt{2}$＜1，
∴S₁＞S₂，S₁+S₂=$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$
故答案為：＞；$\frac{π}{3}$+2-$\sqrt{2}$

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了扇形的面積，三角形面積公式，正方形的判定，解本題的關鍵是找出順時針滾動的角度，在以往將等邊三角形滾動的題型上轉化到半圓上，是一道難度不大的好題．