Question

13．學完“等腰三角形”一章后，老師布置了一道思考題：如圖，點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．求證：∠BQM=60°．
（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？
…
請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：①是；②是；選擇一個給出證明．

Answer 1

分析 （1）可證明△ABM≌△BCN，可求得∠BAM=∠CBN，再再利用外角的性質可證∠BQM=60°；
（2）①由∠BQM=60°可求得∠BAM=∠CBN，可證明△ABM≌△BCN，可求得BM=CN；②由條件可證明△ABM≌△BCN，同（1）可求得∠BQM=60°．

解答 （1）證明：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABM=60°；
（2）解：
①是，證明如下：
∵∠BQM=60°，
∴∠ABM=∠BQM，
∴∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ，
∴∠BAM=∠CBN，
在△ABM和△BCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CBN}\\{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②是，證明方法同（1）．
故答案為：是；是．

點評 本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．