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3.如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D為BC的中點,P為BC上一點,PF⊥AB于F,PE⊥AC于E,則DF與DE的關系為DF=DE且DF⊥ED.

分析 如圖,連接AD.欲證明DF=DE,只要證明△ADF≌△CDE即可.

解答 解:如圖,連接AD.

∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=DC,
∴AD=BD=DC,∠C=∠BAD=45°,
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴∠AFP=∠AEP=∠EAF=90°,
∴四邊形AFPE是矩形,∠C=∠EPC=45°,
∴PE=AF,PE=EC,
∴AF=EC,
在△ADF和△CDE中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠FAD=∠C}\\{AF=EC}\end{array}\right.$,
∴△ADF≌△CDE,
∴DF=DE,∠FDA=∠EDP,
∴∠FDE=∠ADC=90°
故答案為DF=DE且DF⊥DE.

點評 本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質等知識,解題的關鍵是靈活運用所學知識,正確尋找全等三角形,屬于中考常考題型.

練習冊系列答案
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13.學完“等腰三角形”一章后,老師布置了一道思考題:如圖,點M,N分別在正三角形ABC的BC,CA邊上,且BM=CN,AM,BN交于點Q.求證:∠BQM=60°.
(1)請你完成這道思考題;
(2)做完(1)后,同學們在老師的啟發下進行了反思,提出了許多問題,如:
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換,得到的是否仍是真命題?
②若將題中的點M,N分別移動到BC,CA的延長線上,是否仍能得到∠BQM=60°?

請你作出判斷,在下列橫線上填寫“是”或“否”:①是;②是;選擇一個給出證明.

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(2)當α等于多少度時,△BB1D是等腰三角形.

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