Question

3．如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC的中點，P為BC上一點，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，則DF與DE的關系為DF=DE且DF⊥ED．

Answer 1

分析 如圖，連接AD．欲證明DF=DE，只要證明△ADF≌△CDE即可．

解答 解：如圖，連接AD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=DC，
∴AD=BD=DC，∠C=∠BAD=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AFP=∠AEP=∠EAF=90°，
∴四邊形AFPE是矩形，∠C=∠EPC=45°，
∴PE=AF，PE=EC，
∴AF=EC，
在△ADF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠FAD=∠C}\\{AF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDE，
∴DF=DE，∠FDA=∠EDP，
∴∠FDE=∠ADC=90°
故答案為DF=DE且DF⊥DE．

點評 本題考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，正確尋找全等三角形，屬于中考常考題型．