Question

2．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0^°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，連接BB₁，設CB₁交AB于D，A₁B₁分別交AB，AC于E，F(xiàn)
（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以證明（△ABC與△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）當α等于多少度時，△BB₁D是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠CBA=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA=CA₁，∠A=∠A₁，∠ACA₁=∠BCB₁，則CB=CA₁，∠CBD=∠A₁，于是可理由“ASA”判斷△CBD≌△CA₁F；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CB=CB₁，∠BCB₁=α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠CBB₁=∠CB₁B=90°-$\frac{1}{2}$α，則∠DBB₁=45°-$\frac{1}{2}$α，利用三角形外角性質(zhì)得∠BDB₁=45°+α，討論：當BB₁=DB₁時，∠B₁BD=∠B₁DB，即45°-$\frac{1}{2}$α=45°+α，即得α=0°（舍去），當BD=BB₁時，∠BB₁D=∠BDB₁，即90°-$\frac{1}{2}$α=45°+α，即得α=30°．

解答 解：（1）△CBD≌△CA₁F．理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0^°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，
∴CA=CA₁，∠A=∠A₁，∠ACA₁=∠BCB₁，
∴CB=CA₁，∠CBD=∠A₁，
在△CBD和△CA₁F中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠FC{A}_{1}}\\{CB=C{A}_{1}}\\{∠CBD=∠{A}_{1}}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△CA₁F；
（2）∵△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0^°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，
∴CB=CB₁，∠BCB₁=α，
∴∠CBB₁=∠CB₁B=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠CBD=45°，
∴∠DBB₁=45°-$\frac{1}{2}$α，∠BDB₁=45°+α，
當BB₁=DB₁時，∠B₁BD=∠B₁DB，即45°-$\frac{1}{2}$α=45°+α，即得α=0°（舍去），
當BD=BB₁時，∠BB₁D=∠BDB₁，即90°-$\frac{1}{2}$α=45°+α，即得α=30°，
綜上所述，當α等于30度時，△BB₁D是等腰三角形．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定．