Question

10．閱讀材料：若m²-2mn+2n²-8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m²-2mn+2n²-8n+16=0，
∴（m²-2mn+n²）+（n²-8n+16）=0，∴（m-n）²+（n-4）²=0，
∴（m-n）²=0，（n-4）²=0，∴n=4，m=4．
根據你的觀察，探究下面的問題：
（1）已知x²+2xy+2y²+4y+4=0，求2x+y的值；
（2）已知△ABC的三邊長a、b、c，且滿足a²+b²-6a-8b+25=0，求△ABC的最大邊c的范圍；
（3）已知a-b=4，ab+c²-6c+13=0，則a+b+c=3．

Answer 1

分析 （1）配方得：（x+y）²+（y+2）²=0，再利用非負性列式可求得x、y的值，代入求結論；
（2）配方得：（a-3）²+（b-4）²=0，再利用非負性列式可求得a、b的值，根據三角形三邊關系求△ABC的最大邊c的范圍；
（3）將a=b+4代入ab+c²-6c+13=0中，配方可求出b、c的值，再求a的值，代入即可．

解答 解：（1）x²+2xy+2y²+4y+4=0，
x²+2xy+y²+y²+4y+4=0，
（x+y）²+（y+2）²=0，
∴（x+y）²=0，（y+2）²=0，
∴x=2，y=-2；
∴2x+y=2×2-2=2；
（2）a²+b²-6a-8b+25=0，
a²-6a+9+b²-8b+16=0
（a-3）²+（b-4）²=0
∴（a-3）²=0，（b-4）²=0，
∴a=3，b=4；
∴4-3＜c＜4+3，
∴1＜c＜7，
∵c是最大邊，
∴4≤c＜7，
答：△ABC的最大邊c的范圍是：4≤c＜7；
（3）∵a-b=4，
∴a=b+4，
代入得：b（b+4）+c²-6c+13=0，
b²+4b+4+c²-6c+9=0，
（b+2）²+（c-3）²=0，
∴b=-2，c=3，
∴a=b+4=-2+4=2，
∴a+b+c=2-2+3=3；
故答案為：3．

點評 本題是閱讀材料問題，考查了完全平方式、非負性、三角形的三邊關系，屬于常考題型，本題的關鍵是完全平方公式要熟練掌握，明確三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．