Question

2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數y=2x與反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A，B兩點，A點的橫坐標為2，AC⊥x軸于點C，連接BC．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）結合圖象，直接寫出2x＞$\frac{k}{x}$時x的取值范圍；
（3）若點P是反比例函數y=$\frac{k}{x}$圖象上的一點，且滿足△OPC與△ABC的面積相等，求出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）把A點橫坐標代入正比例函數可求得A點坐標，代入反比例函數解析式可求得k，可求得反比例函數解析式；
（2）根據圖象正比例函數的圖象在反比例函數圖象的下方，即可寫出x的取值范圍．
（3）由條件可求得B、C的坐標，可先求得△ABC的面積，再結合△OPC與△ABC的面積相等求得P點坐標．

解答 解：（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，
∴點A坐標為（2，4），
∵點A在反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象上，
∴k=2×4=8，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{8}{x}$；

（2）根據對稱性可知B（-2，-4），
由圖象可知，-2＜x＜0或x＞2時，2x＞$\frac{k}{x}$

（3）∵AC⊥OC，
∴OC=2，
∵A、B關于原點對稱，
∴B點坐標為（-2，-4），
∴B到OC的距離為4，
∴S_△ABC=2S_△ACO=2×$\frac{1}{2}$×2×4=8，
∴S_△OPC=8，
設P點坐標為（x，$\frac{8}{x}$），則P到OC的距離為|$\frac{8}{x}$|，
∴$\frac{1}{2}$×|$\frac{8}{x}$|×2=8，解得x=1或-1，
∴P點坐標為（1，8）或（-1，-8）．

點評 本題主要考查待定系數法求函數解析式及函數的交點問題、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數法確定函數解析式，學會利用圖象根據條件確定自變量取值范圍，屬于中考常考題型．