Question

10．如圖，菱形ABCD的周長為16，∠DAB=60°，對角線AC上有兩點E和F，且AE＜$\frac{1}{2}$AC，AE=CF．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）求AC的長．
（3）當AE的長為2$\sqrt{3}$-2時，四邊形DEBF是正方形（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）連接BD，由菱形ABCD的性質得出OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，得出OE=OF，證出四邊形BEDF是平行四邊形，再由EF⊥BD，即可證出四邊形BEDF是菱形；
（2）由菱形ABCD的對角線相互垂直平分，對角線平分對角的性質，解直角△AOD可以求得AO的長度，則AC=2AO；
（3）由“正方形的對角線相互垂直平分且相等”進行解答．

解答 （1）證明：連接BD，交AC于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形DEBF是菱形；

（2）解：在菱形ABCD中，菱形ABCD的周長為16，∠DAB=60°，
則AD=4，∠DAO=30°，AC⊥BD且AC=2OA，
在直角△AOD中，OA=AD•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
故AC=2OA=4$\sqrt{3}$；

（3）解：當AE=2$\sqrt{3}$-2時，四邊形DEBF是正方形．理由如下：
由（1）知，四邊形DEBF是菱形．
當OD=OE時，四邊形DEBF是正方形．
∵在直角△AOD中，∠DAO=30°，AD=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=2，OA=2$\sqrt{3}$，
∴AE=OA-OD=2$\sqrt{3}$-2．
故答案是：2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題考查了菱形的性質與判定、平行四邊形的判定、等腰三角形的性質以及三角函數的運用；熟練掌握菱形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．