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10.如圖,菱形ABCD的周長為16,∠DAB=60°,對角線AC上有兩點E和F,且AE<$\frac{1}{2}$AC,AE=CF.
(1)求證:四邊形DEBF是菱形;
(2)求AC的長.
(3)當AE的長為2$\sqrt{3}$-2時,四邊形DEBF是正方形(不必證明).

分析 (1)連接BD,由菱形ABCD的性質得出OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,得出OE=OF,證出四邊形BEDF是平行四邊形,再由EF⊥BD,即可證出四邊形BEDF是菱形;
(2)由菱形ABCD的對角線相互垂直平分,對角線平分對角的性質,解直角△AOD可以求得AO的長度,則AC=2AO;
(3)由“正方形的對角線相互垂直平分且相等”進行解答.

解答 (1)證明:連接BD,交AC于O,如圖所示:
∵四邊形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,
∵AE=CF,
∴OE=OF,
∴四邊形DEBF是平行四邊形,
∵EF⊥BD,
∴四邊形DEBF是菱形;

(2)解:在菱形ABCD中,菱形ABCD的周長為16,∠DAB=60°,
則AD=4,∠DAO=30°,AC⊥BD且AC=2OA,
在直角△AOD中,OA=AD•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$,
故AC=2OA=4$\sqrt{3}$;

(3)解:當AE=2$\sqrt{3}$-2時,四邊形DEBF是正方形.理由如下:
由(1)知,四邊形DEBF是菱形.
當OD=OE時,四邊形DEBF是正方形.
∵在直角△AOD中,∠DAO=30°,AD=4,
∴OD=$\frac{1}{2}$AD=2,OA=2$\sqrt{3}$,
∴AE=OA-OD=2$\sqrt{3}$-2.
故答案是:2$\sqrt{3}$-2.

點評 本題考查了菱形的性質與判定、平行四邊形的判定、等腰三角形的性質以及三角函數的運用;熟練掌握菱形的性質,并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵.

練習冊系列答案
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