Question

1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB的中點．將△ACD繞點C逆時針旋轉90°到△BCE．
（1）在圖中畫出△BCE，井簡要說明作圖過程；
（2）若AC=$\sqrt{2}$，求線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形；
（2）根據旋轉的性質，得出∠CBE=∠ABC=45°，AD=BE，再根據勾股定理求得線段AE的長．

解答 解：（1）如圖所示，因為∠ACB=90°，AC=BC，所以點A繞點C逆時針旋轉90°與點B重合，將點D繞點C逆時針旋轉90°得到點E，連接BE，CE，則△BCE即為所求；


（2）由旋轉可得，∠CBE=∠ABC=45°，AD=BE，
∴∠ABE=90°，
∵等腰直角三角形ABC中，AC=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=2，
又∵D為AB的中點，
∴AD=1=BE，
∴Rt△ABE中，AE=$\sqrt{B{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查了利用旋轉的性質進行作圖以及勾股定理的運用，解題時注意：等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．