Question

13．如圖，在⊙O中，OC⊥AB于點F，弦CD交弦AB于點E，線段ED的垂直平分線GP交AB延長線于點P，連結PD．
（1）求證：直線PD與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為10，弦CD=16，求sin∠PDC的值．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OD，欲證明PD是切線，只要證明∠ODP=90°即可．
（2）作OM⊥CD于M，則CM=DM=8，只要證明∠PDC=∠DOM，可得sin∠PDC=sin∠DOM=$\frac{DM}{OD}$，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖，連接OD，
∵PG垂直平分線段DE，
∴PE=PD，
∴∠PED=∠PDE，
∵OC⊥AB，
∴∠EFC=90°，
∴∠FCE+∠FEC=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠FEC=∠PED=∠PDF，
∴∠ODC+∠PDC=90°，
∴∠ODP=90°，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切線．

（2）解：作OM⊥CD于M，則CM=DM=8，
∵∠PDC+∠ODC=90°，○ODC+∠DOM=90°，
∴∠PDC=∠DOM，
∴sin∠PDC=sin∠DOM=$\frac{DM}{OD}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查切線的判定和性質、線段的垂直平分線的性質、圓周角定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．