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7.如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,三個交點的坐標分別為A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標;
(2)若P為線段BD上的一個動點,過點P作PM⊥x軸于點M,求四邊形PMAC面積的最大值和此時P點的坐標;
(3)若點P是拋物線在第一象限上的一個動點,過點P作PQ∥AC交x軸于點Q.當點P的坐標為(2,3)時,四邊形PQAC是平行四邊形;(直接寫出結果,不寫求解過程).

分析 (1)利用待定系數法求出拋物線的解析式,然后化為頂點式求出D點坐標;
(2)本問關鍵是求出四邊形PMAC面積的表達式,這個表達式是關于P點橫坐標的二次函數,再利用二次函數求極值的方法求出面積的最大值,并求出P點坐標;
(3)當四邊形PQAC為平行四邊形時,如圖所示.構造全等三角形求出P點的縱坐標,再利用P點與C點關于對稱軸x=1對稱的特點,求出P點的橫坐標

解答 解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過點C(0,3)
∴當x=0時,c=3.
又∵拋物線y=ax2+bx+c過點A(-1,0),B(3,0)
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3
又∵y=-x2+2x+3,y=-(x-1)2+4
∴頂點D的坐標是(1,4).

(2)設直線BD的解析式為y=kx+n(k≠0)
∵直線y=kx+n過點B(3,0),D(1,4)
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{k+n=4}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$,
∴直線BD的解析式:y=-2x+6
∵P點在線段BD上,因此,設點P坐標為(m,-2m+6)
又∵PM⊥x軸于點M,∴PM=-2m+6,OM=m
又∵A(-1,0),C(0,3)∴OA=1,OC=3
設四邊形PMAC面積為S,則
S=$\frac{1}{2}$OA•OC+$\frac{1}{2}$(PM+OC)•OM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$(-2m+6+3)•m
=-m2+$\frac{9}{2}$m+$\frac{3}{2}$=-(m-$\frac{9}{4}$)2+$\frac{105}{16}$,
∵1<$\frac{9}{4}$<3
∴當m=$\frac{9}{4}$時,四邊形PMAC面積的最大值為$\frac{105}{16}$,
將x=$\frac{9}{4}$代入y=-2x+6 解得y=$\frac{3}{2}$,
此時,P點坐標是($\frac{9}{4}$,$\frac{3}{2}$).

(3)答案:(2,3);
如圖,∵四邊形PQAC是平行四邊形,
∴AC=PQ,AC∥PQ,
∴∠CAO=∠PQE,
過點P作PE⊥x軸于點E,
∴∠PEQ=90°=∠COA,
在△AOC和△QEP中,$\left\{\begin{array}{l}{∠COA=∠PEQ=90°}\\{∠CAO=∠PQE}\\{AC=PQ}\end{array}\right.$,
∴△AOC≌△QEP,
∴yP=PE=CO=3.
又CP∥x軸,
則點C(0,3)與點P關于對稱軸x=1對稱,
∴xP=2.
∴P(2,3).
故答案為(2,3)

點評 此題是二次函數綜合題,主要考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、二次函數的極值、圖形面積的求法、平行四邊形、等腰三角形、三角函數(或相似三角形)等,解本題的關鍵是得出直線BD的解析式,是一道中等難點的中考常考題.

練習冊系列答案
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