Question

7．如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，三個交點的坐標分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）若P為線段BD上的一個動點，過點P作PM⊥x軸于點M，求四邊形PMAC面積的最大值和此時P點的坐標；
（3）若點P是拋物線在第一象限上的一個動點，過點P作PQ∥AC交x軸于點Q．當點P的坐標為（2，3）時，四邊形PQAC是平行四邊形；（直接寫出結果，不寫求解過程）．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求出拋物線的解析式，然后化為頂點式求出D點坐標；
（2）本問關鍵是求出四邊形PMAC面積的表達式，這個表達式是關于P點橫坐標的二次函數，再利用二次函數求極值的方法求出面積的最大值，并求出P點坐標；
（3）當四邊形PQAC為平行四邊形時，如圖所示．構造全等三角形求出P點的縱坐標，再利用P點與C點關于對稱軸x=1對稱的特點，求出P點的橫坐標

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點C（0，3）
∴當x=0時，c=3．
又∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0），B（3，0）
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
又∵y=-x²+2x+3，y=-（x-1）²+4
∴頂點D的坐標是（1，4）．

（2）設直線BD的解析式為y=kx+n（k≠0）
∵直線y=kx+n過點B（3，0），D（1，4）
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{k+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式：y=-2x+6
∵P點在線段BD上，因此，設點P坐標為（m，-2m+6）
又∵PM⊥x軸于點M，∴PM=-2m+6，OM=m
又∵A（-1，0），C（0，3）∴OA=1，OC=3
設四邊形PMAC面積為S，則
S=$\frac{1}{2}$OA•OC+$\frac{1}{2}$（PM+OC）•OM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（-2m+6+3）•m
=-m²+$\frac{9}{2}$m+$\frac{3}{2}$=-（m-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{105}{16}$，
∵1＜$\frac{9}{4}$＜3
∴當m=$\frac{9}{4}$時，四邊形PMAC面積的最大值為$\frac{105}{16}$，
將x=$\frac{9}{4}$代入y=-2x+6 解得y=$\frac{3}{2}$，
此時，P點坐標是（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$）．

（3）答案：（2，3）；
如圖，∵四邊形PQAC是平行四邊形，
∴AC=PQ，AC∥PQ，
∴∠CAO=∠PQE，
過點P作PE⊥x軸于點E，
∴∠PEQ=90°=∠COA，
在△AOC和△QEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠COA=∠PEQ=90°}\\{∠CAO=∠PQE}\\{AC=PQ}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△QEP，
∴y_P=PE=CO=3．
又CP∥x軸，
則點C（0，3）與點P關于對稱軸x=1對稱，
∴x_P=2．
∴P（2，3）．
故答案為（2，3）

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、二次函數的極值、圖形面積的求法、平行四邊形、等腰三角形、三角函數（或相似三角形）等，解本題的關鍵是得出直線BD的解析式，是一道中等難點的中考常考題．