Question

14．如圖1，△ABC中，AC=BC，∠A=30°，點D在AB邊上，BD的長為一元二次方程x²-2x=6-3x的根，cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求BD的長；
（2）求AB的長；
（3）將圖1中的△BCD繞點B順時針旋轉α（0°＜α≤360°）得到△BC′D′，連接DD′，如圖2所示，當△DBD′與△ACB相似時，直接寫出α的度數．

Answer 1

分析 （1）解方程即可解決問題．
（2）如圖1中，過點C作CH⊥AB于H．在Rt△CHD中，由cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，推出∠ADC=45°，設CH=x，則DH=x，由DB=2，可得BH=x+2，在Rt△CHA中，∠A=30°，可得AH=CH÷tan30°=$\sqrt{3}$x，因為AC=BC，所以BH=AH=$\frac{1}{2}$AB，可得方程$\sqrt{3}$x=x+2，解方程即可解決問題．
（3）畫出圖形即可解決問題．

解答 解：（1）解方程x²-2x=6-3x的得到x=2或-3，
∵線段的長度為正，
∴BD=2．

（2）如圖1中，過點C作CH⊥AB于H．

在Rt△CHD中，∵cos∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠ADC=45°，設CH=x，則DH=x，
∵DB=2，
∴BH=x+2，
在Rt△CHA中，∠A=30°，
∴AH=CH÷tan30°=$\sqrt{3}$x，
∵AC=BC，
∴BH=AH=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\sqrt{3}$x=x+2，
∴x=$\sqrt{3}$+1，
∴BH=$\sqrt{3}$+3，
∴AB=2（$\sqrt{3}$+3）

（3）如圖2，3中，

當α的度數為120°或240°時，易知∠BDD′=∠BD′D=∠A=∠ABC=30°，
∴△DBD′∽△ACB．
∴α的度數為120°或240°．

點評 本題考查相似形綜合題、銳角三角函數、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，考慮問題要全面，屬于中考壓軸題．