Question

5．正方形ABCD中，E、F分別是AD、DC的中點，BE和AF交于點G，∠DGF=∠DBC，求證：GC=BC．

Answer 1

分析 如圖，延長AF交BC的延長線于M，△BAE≌△ADF，推出∠BGM=90°，由△ADF≌△MCF，推出AD=CM=BC，再根據直角三角形斜邊中線性質即可證明．

解答 證明：如圖，延長AF交BC的延長線于M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠ADC=∠BCD=∠DCM=90°，
∵AE=ED，DF=FC，
∴AE=DF，
在ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠ADF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°，
∴∠AGE=∠BGM=90°，
在△ADF和△MCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠MCF=90°}\\{DF=FC}\\{∠AFD=∠MFC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△MCF，
∴AD=CM=BC，
在Rt△BGM中，∵BC=CM，
∴CG=CB=CM，
∴GC=BC．

點評 本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，注意AF與BE垂直這個結論的應用和證明，屬于中考常考題型．