Question

18．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角板的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將此三角板繞點P旋轉，三角板的兩直角邊分別交射線AC，CB于D、E，圖1，2，3是旋轉得到的三種圖形．
（1）以圖2為例，觀察線段PD和PE之間的有怎樣的大小關系，并加以說明．
（2）△PBE是否構成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度數；若不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接PC，通過證明△DPC≌△EPB，得出PD=PE．
（2）分EP=EB、EP=PB、BE=BP三種情況進行解答．

解答 解：（1）PD=PE．以圖②為例，如圖，連接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P為斜邊AB的中點，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
在△DPC和△EPB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠DCP=∠B}\\{∠DPC=∠EPB}\\{PC=PB}\end{array}\right.$，
∴△DPC≌△EPB（ASA），
∴PD=PE；

（2）能，
①當EP=EB時，如圖1，

∴∠B=∠BPE=45°，
∴∠PEB=90°；
②當EP=PB時，如圖2，點E在BC上，則點E和C重合，

則∠PEB=∠B=45°；


③當BE=BP時，如圖3，若點E在BC上，

∴∠E=∠BPE，
又∵∠E+∠BPE=45°，
∴∠PEB=22.5°．

點評 本題考查了等腰三角形的性質與判定；此題是分類討論題，應分情況進行論證，不能漏解．輔助線的作出是解答本題的關鍵．