Question

3．已知x₁、x₂是關于x的方程x²-2（m+1）x+m²+5=0的兩個不相等的實數根．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）若（x₁-1）（x₂-1）=7，求實數m的值；
（3）已知等腰△ABC的一邊長為7，若x₁、x₂恰好是△ABC另外兩邊長，求這個三角形的周長．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式即可得；
（2）由韋達定理得x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，代入到（x₁-1）（x₂-1）=7，即x₁x₂-（x₁+x₂）=6，解關于m的方程即可；
（3）由題意得出方程的另一根為7，將x=7代入求出x的值，再根據三角形三邊之間的關系判斷即可得．

解答 解：（1）由題意得△=4（m+1）²-4（m²+5）＞0，
解得：m＞2；

（2）x₁+x₂=2（m+1），x₁x₂=m²+5，
由（x₁-1）（x₂-1）=7得：x₁x₂-（x₁+x₂）=6，即m²+5-2（m+1）=6，
解得：m=3或m=-1，
由（1）知m＞2，
∴m=3；

（3）由題意，∵x₁≠x₂時，
∴只能取x₁=7或x₂=7，即7是方程的一個根，
將x=7代入得：49-14（m+1）+m²+5=0，
解得：m=4或m=10，
當m=4時，方程的另一個根為3，此時三角形三邊分別為7、7、3，周長為17；
當m=10時，方程的另一個根為15，此時不能構成三角形；
故三角形的周長為17．

點評 本題主要考查判別式、韋達定理、三角形三邊之間的關系，熟練掌握韋達定理是解題的關鍵．