Question

17．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=$\frac{1}{4}$，AD是BC邊上的中線，則sin∠BAD=$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．

Answer 1

分析 作高線DE，證明△DEB∽△ACB，求DE的長，再利用三角函數定義求結果．

解答 解：∵∠C=90°，tanB=$\frac{1}{4}$，
∴設AC=k，BC=4k，
∴AB=$\sqrt{17}$k，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD=2k，
過點D作DE⊥AB于E，
∴∠C=∠DEB=90°，
又∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{DE}{k}=\frac{2k}{\sqrt{17}k}$，
∴DE=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$k，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$k，
∴sin∠BAD=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{17}}{17}k}{\sqrt{5}k}$=$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{85}}{85}$．

點評 本題考查了解直角三角形，熟練掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．