Question

9．半徑為2的圓內有兩條互相垂直的弦AB和CD，它們的交點E到圓心O的距離等于1，則AB²+CD²=（　　）

• A． 28
• B． 26
• C． 18
• D． 35

Answer 1

分析 作輔助線“連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N”構造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂徑定理推知，OM²=DO²-DM²=4-（$\frac{AB}{2}$）²、ON²=OA²-AN²=4-（$\frac{DC}{2}$）²，所以OM²+ON²=4-（$\frac{AB}{2}$）²+4-（$\frac{DC}{2}$）²=1，由此解得AB²+CD²=28．

解答 解：連接AO，DO，作OM⊥CD于點M，作ON⊥AB于點N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四邊形OMEN為矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-（$\frac{DC}{2}$）²；
又∵ON²=OA²-AN²=4-（$\frac{AB}{2}$）²，
∴OM²+ON²=4-（$\frac{AB}{2}$）²+4-（$\frac{DC}{2}$）²=1，
∴AB²+CD²=28．
故選A．

點評 本題主要考查了的是垂徑定理和勾股定理．解得該題的關鍵是通過作輔助線構建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性質以及垂徑定理將 AB²+CD²聯系在同一個等式中，然后根據代數知識求解．