Question

16．已知：如圖所示，直線MA∥NB，∠MAB與∠NBA的平分線交于點C，過點C作一條直線l與兩條直線MA，NB分別相交于點D，E．

（1）如圖1所示，當直線l與直線MA垂直時，補全圖形并猜想線段AD，BE，AB之間的數量關系（直接寫出結論，不用證明）；
（2）如圖2所示，當直線l與直線MA不垂直且交點D，E都在AB的同側時，補全圖形并探究（1）中的結論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；
（3）當直線l與直線MA不垂直且交點D，E在AB的異側時，補全圖形并探究（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段AD，BE，AB之間還存在某種數量關系嗎？如果存在，請直接寫出它們之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，結論：AD+BE=AB．作CH⊥AB于H，只要證明△ACD≌△ACH，△BCH≌△BCE即可．
（2）如圖2中，（1）中所得結論是否仍然成立．在線段AB上截取AF=AD，連接FC，只要證明△ADC≌△AFC（SAS），△CBF≌△CBE（AAS）即可解決問題．
（3）不成立．如圖3中，結論：AD-BE=AB．延長BC交AM于F，只要證明△ABF是等腰三角形，△CDF≌△CEB，即可解決問題．如圖4中，結論：BE-AD=AB，證明方法類似．

解答 解：（1）結論：AD+BE=AB．補全圖形（如圖1）

理由：∵CD⊥AM，CH⊥AB，
∴∠ADC=∠CHA=90°，
在△ACD和△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠ADC=∠AHC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ACH（AAS），
∴AD=AH，
同理可證△BCH≌△BCE，
∴BH=BE，
∴AD+BE=AH+BH=AB．

（2）（1）中所得結論是否仍然成立．
證明：如圖2中，在線段AB上截取AF=AD，連接FC．

∵AC，BC分別平分∠MAB，∠NBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
在△ADC和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AF\\∠1=∠2\\ AC=AC（公共邊）\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AFC（SAS）．
∴∠ADC=∠AFC，
∵MA∥NB，
∴∠ADC+∠6=180°，
又∵∠5+∠AFC=180°，
∴∠5=∠6．
在△CBF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}∠5=∠6\\∠3=∠4\\ BC=BC（公共邊）\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE
∵AF+BF=AB，
∴AD+BE=AB．

（3）不成立．
如圖3中，結論：AD-BE=AB．

理由：延長BC交AM于F．
∵AD∥BN，
∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，
∴AF=AB，
∵∠1=∠2，
∴AC⊥BF，CF=BC，
在△CDF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠CEB}\\{∠FCD=∠ECB}\\{CF=BC}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CEB，
∴DF=BE，
∴AD-BE=AD=AF=AF=AB，
∴AD=BE=AB．
如圖4中，結論：BE-AD=AB．（證明方法類似圖3情形）．

點評 本題考查三角形綜合題、角平分線的性質定理、等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．