Question

5．如圖，O是正方形ABCD的中心，M是ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠DMC=90°，將△DMC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到△NAB，若MD=3，CM=4，則MN的長為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延長DM交AN于E，延長BN交CM于F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ANB=∠CMD=90°，AN∥CM，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EAD=∠CDM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=DM=3，DE=CM=4，推出四邊形ENFM是正方形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：延長DM交AN于E，延長BN交CM于F，
∵∠DMC=90°，將△DMC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后得到△NAB，
∴∠ANB=∠CMD=90°，AN∥CM，
∴∠MEN=∠DMC=∠ANB=∠BFC=90°，
∴∠DAE+∠ADE=∠ADE+∠CDM=90°，
∴∠EAD=∠CDM，
在△ADE與△CDM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DMC=90°}\\{∠EAD=∠MDC}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDM，
∴AE=DM=3，DE=CM=4，
∴ME=1，
∴EN=1，
同理MF=FN=1，
∴四邊形ENFM是正方形，
∴MN=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，則的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．