Question

13．已知一次函數(shù)y₁=k₁x+b與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$相交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)O為DE中點(diǎn)，連接CE，已知S_△ADE=4，tan∠DCO=$\frac{1}{2}$．
（1）求y₁和y₂的解析式；
（2）將△ACE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△A'C'E，連接AA'、BA'，求△AA'B的面積．

Answer 1

分析 （1）由于O是DE的中點(diǎn)，CO∥AE，故可知CO是△ADE的中位線，從而可知2CO=AE，設(shè)CO=m，然后利用S_△ADE=4，tan∠DCO=$\frac{1}{2}$求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)后即可求出y₁和y₂的解析式．
（2）分別求出A′D、BF、AE的長(zhǎng)度，然后利用三角形面積公式即可求出△AA'B的面積．

解答 解：（1）∵O是DE的中點(diǎn)，CO∥AE，
∴CO是△ADE的中位線，
∴AE=2CO，
設(shè)CO=m，
∴AE=2m，
∵tan∠DCO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DO}{CO}=\frac{1}{2}$，
∴DO=$\frac{1}{2}$m，
∴DE=m，
∵S_△ADE=4，
∴$\frac{1}{2}$DE•AE=4，
∴m²=4，
∴m=2，
∴C（0，2），A（1，4），
將點(diǎn)A（1，4）代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$，
∴k₂=4，
將A（1，4）和C（0，2）代入y₁=k₁x+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{{k}_{1}+b=4}\end{array}\right.$，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y₁=2x+2，y₂=$\frac{4}{x}$，
（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+2}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得：x=-2或x=1，
∴B（-2，-2），
∴BF=2，
令y=0代入y₁=2x+2，
∴D（-1，0），
由題意可知：A′E=AE=4，
∴A′D=OD+OE+AE=6，
∴△AA'B的面積為：$\frac{1}{2}$A′D•BF+$\frac{1}{2}$A′D•AE=18，

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求解析式，三角形面積公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，本題綜合程度較高．