Question

10．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以點M，N為圓心畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是（　　）
①AD是∠BAC的平分線
②∠ADC=60°
③∠BAD=∠B
④點D到直線AB的距離等于CD的長度．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC，則可對①進行判斷；再計算出∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，則可對②③進行判斷；然后根據角平分線的性質對④進行判斷．

解答 解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正確；
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正確；
∠BAD=∠B，所以③正確；
∵AD為角平分線，
∴點D到AC的距離等于點D到AB的距離，
而點D到直線AC的距離等于CD的長度，
∴點D到直線AB的距離等于CD的長度，所以④正確．
故選D．

點評 本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．也考查了角平行線的性質定理．