Question

12．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個點，PE⊥AD交直線BC于點E
①若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度數．
②猜想∠E與∠B、∠ACB的數量關系．

Answer 1

分析 ①中，首先根據三角形的內角和定理求得∠BAC的度數，再根據角平分線的定義求得∠DAC的度數，從而根據三角形的內角和定理即可求出∠ADC的度數，進一步求得∠E的度數；
②中，根據第（1）小題的思路即可推導這些角之間的關系．

解答 解：①∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°；

②∠E=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．
設∠B=n°，∠ACB=m°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=n°，∠ACB=m°，
∴∠CAB=（180-n-m）°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$（180-n-m）°，
∴∠3=∠B+∠1=n°+$\frac{1}{2}$（180-n-m）°=90°+$\frac{1}{2}$n°-$\frac{1}{2}$m°，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-（90°+$\frac{1}{2}$n°-$\frac{1}{2}$m°）=$\frac{1}{2}$（m-n）°=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．

點評 本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．