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3.已知:如圖,BC是半⊙O的直徑,點D在半⊙O,上點A是弧BD的中點.AE⊥BC,垂足為E,BD分別交AE,AC于點F,G.
(1)求證:AF=BF;
(2)點D在何處時,有AG=FG?指出點D的位置并加以證明.

分析 (1)連接AB,由BC是半⊙O的直徑,得到∠BAC=90°,根據余角的性質得到∠BAE=∠C,根據圓周角定理得到∠ABD=∠C,等量代換得到∠ABD=∠BAE,于是得到結論;
(2)根據圓周角定理得到∠C=∠EBF,根據余角的性質得到∠BAE=∠C,等量代換得到∠AFG=∠GAF,于是得到結論.

解答 (1)證明:連接AB,
∵BC是半⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∴∠C+∠ABC=90°,
∵AE⊥BC,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠BAE=∠C,
∵點A是弧BD的中點,
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AD}$,
∴∠ABD=∠C,
∴∠ABD=∠BAE,
∴AF=BF;
(2)解:當$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$時,有AG=FG,
∴∠C=∠EBF,
∵∠BAC=∠AEC=90°,
∴∠GAF+∠BAE=∠EAC+∠C=90°,
∴∠BAE=∠C,
∴∠EBF=∠BAE,
∵∠AFG=∠BFE,
∴∠AFG+∠FBE=∠BAF+∠FAG=90°,
∴∠AFG=∠GAF,
∴AG=FG.

點評 本題考查了圓周角定理,直角三角形的性質,等腰三角形的判定,正確的作出輔助線是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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13.如圖,AB是⊙O的直徑,弦AC=6,BC=8,弦CD平分∠ACB.
(1)求⊙O的半徑;
(2)E為$\widehat{AD}$上一點,連接AE、ED、EB,請把圖形補充完整并求$\frac{EB-EA}{ED}$的值.

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14.當a=-$\frac{5}{3}$時,關于x的方程$\frac{2ax+3}{a-x}$=1的根是2.

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11.匯英學校后勤處準備利用暑假修理刷新教學樓的窗戶,現有A,B兩個修理組,A組每天修理刷新窗戶12扇,B組每天修理刷新窗戶比A組多4扇,若他們單獨完成修理刷新教學樓所有的窗戶的任務,則A組比B組多用7天;學校每天付A組修理費300元,付B組修理費400元.
(1)匯英學校教學樓共有多少扇窗戶?
(2)在修理過程中,學校要求校工葛師傅每天到校管理監督這項修理工作,學校每天給予假期補助50元.這項修理工作可以有三種方案:
方案一:由A組單獨修理;
方案二:由B組單獨修理;
方案三:A,B組合作同時修理;
你認為哪種方案省時又省錢?為什么?

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18.實驗中學團委舉辦了“中國夢,我的夢”演講比賽,滿分10分,學生得分均為整數,成績達6分以上獲優勝獎,達到9分以上獲優秀獎.這次競賽中初中、高中兩組學生成績分布的條形統計圖如下:

(1)補充完成下列的成績統計分析表:
組別平均分中位數眾數方差優勝獎率優秀獎率
初中6.7663.4190%20%
高中7.17.581.6980%10%
(2)安欣同學說:“這次競賽我得了7分,在我們小組中排名屬中游略偏上!”觀察上表可知:安欣是初中組學生(填“初中”或“高中”);
(3)初中組同學說他們組的優勝獎率、優秀獎率均高于高中組,所以他們組的成績好于高中組.但高中組同學不同意初中組同學的說法,認為他們組的成績要好于初中組.請你給出兩條支持高中組同學觀點的理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

8.如圖,△ABC中,∠CAB的平分線與BC的垂直平分線相交于D,過點D作DE⊥AB,DF⊥AC,求證:BE=CF.

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科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

15.如圖所示,是一塊三角形的草坪,現要在草坪上建一涼亭供大家休息,要使涼亭到草坪的三個頂點的距離相等,涼亭的位置應選在(  )
A.△ABC三邊的垂直平分線的交點B.△ABC的三條中線的交點
C.△ABC三條角平分線的交點D.△ABC三條高所在直線的交點

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12.如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,P為線段AD上的一個點,PE⊥AD交直線BC于點E
①若∠B=35°,∠ACB=85°,求∠E的度數.
②猜想∠E與∠B、∠ACB的數量關系.

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科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

13.已知代數式2x+y的值是3,則代數式8x+4y+1的值是(  )
A.1B.4C.13D.不能確定

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