Question

3．已知：如圖，BC是半⊙O的直徑，點D在半⊙O，上點A是弧BD的中點．AE⊥BC，垂足為E，BD分別交AE，AC于點F，G．
（1）求證：AF=BF；
（2）點D在何處時，有AG=FG？指出點D的位置并加以證明．

Answer 1

分析 （1）連接AB，由BC是半⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，根據余角的性質得到∠BAE=∠C，根據圓周角定理得到∠ABD=∠C，等量代換得到∠ABD=∠BAE，于是得到結論；
（2）根據圓周角定理得到∠C=∠EBF，根據余角的性質得到∠BAE=∠C，等量代換得到∠AFG=∠GAF，于是得到結論．

解答 （1）證明：連接AB，
∵BC是半⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠C+∠ABC=90°，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠C，
∵點A是弧BD的中點，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ABD=∠C，
∴∠ABD=∠BAE，
∴AF=BF；
（2）解：當$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$時，有AG=FG，
∴∠C=∠EBF，
∵∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠GAF+∠BAE=∠EAC+∠C=90°，
∴∠BAE=∠C，
∴∠EBF=∠BAE，
∵∠AFG=∠BFE，
∴∠AFG+∠FBE=∠BAF+∠FAG=90°，
∴∠AFG=∠GAF，
∴AG=FG．

點評 本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質，等腰三角形的判定，正確的作出輔助線是解題的關鍵．