Question

2．如圖，在扇形OAB中，半徑OA=4，∠AOB=120°，點C在$\widehat{AB}$上，OD⊥AC于點D，OE⊥BC于點E，當點C從點A運動到點B時，線段DE長度的變化情況是（　　）

• A． 先變小，后變大
• B． 先變大，后變小
• C． DE與OD的長度保持相等
• D． 固定不變

Answer 1

分析 連接AB，作OF⊥AB于F，由等腰三角形的性質得出AF=BF，∠OAF=30°，得出OF=$\frac{1}{2}$OA=2，由勾股定理求出AF，得出AB長度，根據垂徑定理得出D、E分別是BC、AC中點，根據三角形中位線求出即可．

解答 解：連接AB，作OF⊥AB于F，如圖所示：
∵OA=OB，∠AOB=120°，
∴AF=BF，∠OAF=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AF=4$\sqrt{3}$，
∵OD⊥AC于點D，OE⊥BC于點E，
∴點D、E分別是BC和CA的中點，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$；
故選：D．

點評 本題考查了三角形中位線，垂徑定理，勾股定理的應用，題目是一道比較典型的題目，難度適中．