Question

14．如圖，已知AB是⊙O的弦，∠B=30°，C是弦AB上的任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長交⊙O于點D，連接AD．
（1）當∠D=20°，求∠BOD的度數；
（2）若以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求∠D的度數．

Answer 1

分析 （1）連接OA，根據圓的半徑相等證明∠OAB=∠B和∠OAD=∠D，得到答案；
（2）若以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，由外角的性質得到∠BCO=∠CAD+∠D，推出∠ACD=∠BCO，由平角的定義得到∠ACD+∠BCO=180°，求得∠ACD=∠BCO=90°，即可得到答案．

解答 解：（1）連接OA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠B=30°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠D=20°，
∴∠BAD=∠OAB=∠OAD=50°，
∴∠BOD=2∠BAD=100°；

（2）若以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，
∵∠BCO=∠CAD+∠D，
∴∠ACD=∠BCO，
∵∠ACD+∠BCO=180°，
∴∠ACD=∠BCO=90°，
∴∠D=∠B=30°，或∠A=∠B=30°，
∴∠D=60°，
綜上所述：以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，∠D=30°或60°．

點評 此題考查了垂徑定理，圓周角的性質以及相似三角形的性質，掌握圓的半徑相等和等邊對等角是解題的關鍵．